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          共50条信息

            • 1．
              在数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)是整数，且\(a_{n}= \begin{cases} \overset{5a_{n-1}-3a_{n-2},a_{n-1}\cdot a_{n-2}{为偶数}}{a_{n-1}-a_{n-2},a_{n-1}\cdot a_{n-2}{为奇函数}}\end{cases}\)，\((n∈N^{*}\)，且\(n\geqslant 3)\)
              \((\)Ⅰ\()\)若\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，写出\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若在数列\(\{a_{n}\}\)的前\(2018\)项中，奇数的个数为\(t\)，求\(t\)得最大值；
              \((\)Ⅲ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}\)是奇数，\(a_{2}=3a_{1}\)，证明：对任意\(n∈N^{*}\)，\(a_{n}\)不是\(4\)的倍数．
              难度：中等
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            • 2．
              等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(1\)，公差不为\(0\)，且\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{6}\)成等比数列，则\(S_{6}=\) ______ ．
              难度：易
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            • 3．
              对于各项均为整数的数列\(\{a_{n}\}\)，如果满足\(a_{m}+m(m=1,2,3,…)\)为完全平方数，则称数列\(\{a_{n}\}\)具有“\(M\)性质”；不论数列\(\{a_{n}\}\)是否具有“\(M\)性质”，如果存在与\(\{a_{n}\}\)不是同一数列的\(\{b_{n}\}\)，且\(\{b_{n}\}\)同时满足下面两个条件：\(①b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(…\)，\(b_{n}\)是\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(…\)，\(a_{n}\)的一个排列；\(②\)数列\(\{b_{n}\}\)具有“\(M\)性质”，则称数列\(\{a_{n}\}\)具有“变换\(M\)性质”．
              \((\)Ⅰ\()\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}= \dfrac {n}{3}(n^{2}-1)\)，证明数列\(\{a_{n}\}\)具有“\(M\)性质”；
              \((\)Ⅱ\()\)试判断数列\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)和数列\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(11\)是否具有“变换\(M\)性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列\(\{b_{n}\}\)，不具此性质的说明理由；
              \((\)Ⅲ\()\)对于有限项数列\(A\)：\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n\)，某人已经验证当\(n∈[12,m^{2}](m\geqslant 5)\)时，数列\(A\)具有“变换\(M\)性质”，试证明：当\(n∈[m^{2}+1,(m+1)^{2}]\)时，数列\(A\)也具有“变换\(M\)性质”．
              难度：中等
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            • 4．
              已知数列\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(16\)，\(…\)，其中第一项是\(2^{0}\)，接下来的两项是\(2^{0}\)，\(2^{1}\)，再接下来的三项是\(2^{0}\)，\(2^{1}\)，\(2^{2}\)，依此类推\(.\)设该数列的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，
              规定：若\(∃m∈N^{*}\)，使得\(S_{m}=2^{p}(p∈N)\)，则称\(m\)为该数列的“佳幂数”．
              \((\)Ⅰ\()\)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前\(3\)个“佳幂数”；
              \((\)Ⅱ\()\)试判断\(50\)是否为“佳幂数”，并说明理由；
              \(( III)( i)\)求满足\(m > 70\)的最小的“佳幂数”\(m\)；
              \(( ii)\)证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
              难度：中等
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            • 5．
              设\(\{a_{n}\}\)是公差比为\(q\)的等比数列．
              \((\)Ⅰ\()\)推导\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)公式\((\)用\(a_{1}\)，\(q\)表示\()\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(S_{3}\)，\(S_{9}\)，\(S_{6}\)成等差数列，求证\(a_{2}\)，\(a_{8}\)，\(a_{5}\)成等差数列．
              难度：较易
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            • 6．
              在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，公差\(d\neq 0\)，且\(a_{1}\)，\(a_{4}\)，\(a_{10}\)成等比数列，则\( \dfrac {a_{1}}{d}\)的值为 ______ ．
              难度：易
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            • 7．
              已知各项不为\(0\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{6}-a \;_{ 7 }^{ 2 }+a_{8}=0\)，数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列，且\(b_{7}=a_{7}\)，则\(b_{2}⋅b_{8}⋅b_{11}=(\)　　\()\)
              A．\(8\)
              B．\(2\)
              C．\(4\)
              D．\(1\)
              难度：易
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            • 8．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)为等比数列，且\(a_{2}=1\)，\(a_{5}=27\)，\(\{b_{n}\}\)为等差数列，且\(b_{1}=a_{3}\)，\(b_{4}=a_{4}\)．
              \((I)\)分别求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式．
              \((II)\)设数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求数列\(\{ \dfrac {2}{S_{n}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 9．
              已知公差为\(1\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{4}\)成等比数列，则\(\{a_{n}\}\)的前\(100\)项和为 ______ ．
              难度：易
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            • 10．
              已知等差数\(\{a_{n}\}\)的公差不为零\(a_{1}=2\)，\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{11}\)成等比数列．
              \((I)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              \((II)\)求\(a_{1}+a_{3}+a_{5}+…+a_{2n-1}\)．
              难度：较易
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