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          共50条信息

            • 1．

              设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\({a}_{1}=2,{a}_{n+1}=2{S}_{n}+2\left(n∈{N}^{*}\right) \)

              \((1)\)求数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)通项公式；

              \((2)\)在\(a_{n}\)与\(a_{n+1}\)之间插入\(n\)个数，使这\(n+2\)个数组成一个公差为\(d_{n}\)的等差数列。

              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(\dfrac{1}{{d}_{1}}+ \dfrac{1}{{d}_{2}}+ \dfrac{1}{{d}_{3}}+…+ \dfrac{1}{{d}_{n}} < \dfrac{15}{16}\left(n∈{N}^{*}\right) \)

              \((\)Ⅱ\()\)在数列\(\left\{{d}_{n}\right\} \)中是否存在三项\(d_{m}\)，\(d_{k}\)，\(d_{p}(\)其中\(m\)，\(k\)，\(p\)成等差数列\()\)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

              难度：难
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=1\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}= \dfrac {n(a_{n}-a_{1})}{2}\)．
              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{3}\)；
              \((2)\)求证：数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列，并写出其通项公式；
              \((3)\)设\(\lg b_{n}= \dfrac {a_{n+1}}{3^{n}}\)，试问是否存在正整数\(p\)，\(q(\)其中\(1 < p < q)\)，使\(b_{1}\)，\(b_{p}\)，\(b_{q}\)成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组\((p,q)\)；若不存在，说明理由．
              难度：易
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            • 3．

              将\(25\)个数排成五行五列：己知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等，若\(a^{24}=4\)，\(a_{41}=-2\)，\(a_{43}=10\)，则\(a_{11}×a_{55}\)的值为________．

              难度：易
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            • 4． 已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2} > a_{3}=1\)，则使不等式\((a_{1}- \dfrac {1}{a_{1}})+(a_{2}- \dfrac {1}{a_{2}})+(a_{3}- \dfrac {1}{a_{3}})+…+(a_{n}- \dfrac {1}{a_{n}})\geqslant 0\)成立的最大自然数\(n\)是 ______
              难度：较难
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            • 5．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(1\)，\(a_{n}\)，\(S_{n}\)成等差数列．

                  \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

                  \((2)\)若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}}=1+2n{{a}_{n}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

              难度：中等
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            • 6．

              设\(S_{n}\)为等比数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若\(S_{1}{,}S_{3}{,}S_{2}\)成等差数列，则等比数列\(\{ a_{n}\}\)的公比\(q{=}({  })\)

              A．\({-}2\)
              B．\({-}1\)
              C．\({-}\dfrac{1}{2}\)
              D．\(\dfrac{1}{2}\)
              难度：中等
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            • 7．

              已知数列\(\{an\}\)的首项\({a}_{1}= \dfrac{3}{5},{a}_{n+1}= \dfrac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1},n∈{N}^{*} \)．

              \((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}-1\} \)为等比数列；

              \((2)\)记\({S}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+...+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \)，若\(S_{n} < 101\)，求最大正整数\(n\)的值；

                  \((3)\)是否存在互不相等的正整数\(m\)，\(s\)，\(n\)，使\(m\)，\(s\)，\(n\)成等差数列，且\(a_{m}-1\)，\(a_{s}-1\)，\(a_{n}-1\)成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 8．
              成等差数列的三个正数的和等于\(6\)，并且这三个数分别加上\(3\)、\(6\)、\(13\)后成为等比数列\(\{b_{n}\}\)中的\(b_{3}\)、\(b_{4}\)、\(b_{5}\)，则数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\((\)　　\()\)
              A．\(b_{n}=2^{n-1}\)
              B．\(b_{n}=3^{n-1}\)
              C．\(b_{n}=2^{n-2}\)
              D．\(b_{n}=3^{n-2}\)
              难度：较易
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            • 9．

              已知公比不为\(1\)的等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项\({{a}_{1}}=\dfrac{1}{2}\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{4}+S_{4}\)，\(a_{5}+S_{5}\)，\(a_{6}+S_{6}\)成等差数列．

              \((1)\)求等比数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式及前\(n\)项和\(S_{n}\)；

              \((2)\)对\(n∈N^{*}\)，在\(a_{n}\)与\(a_{n+1}\)之间插入\(3^{n}\)个数，使这\(3^{n}+2\)个数成等差数列，记插入的这\(3^{n}\)个数的和为\(b_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：中等
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            • 10． 已知数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(\{b_{n}\}\)是等比数列，且\(a_{1}=11\)，\(b_{1}=1\)，\(a_{2}+b_{2}=11\)，\(a_{3}+b_{3}=11\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{|a_{n}-b_{n}|\}\)的前\(12\)项的和\(S_{12}\)．
              难度：较易
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