已知公差不为零的等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=7\)，且\(a_{1}\)，\(a_{4}\)，\(a_{13}\)成等比数列．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)记数列\(\{a_{n}·2^{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)，求\(S_{n}\)．

对数列\(\{a_{n}\}\)，如果\(k∈N^{*}\)及\(λ_{1}\)，\(λ_{2}\)，\(…\)，\(λ_{k}∈R\)，使\(a_{n+k}=λ_{1}a_{n+k-1}+λ_{2}a_{n+k-2}+…+λ_{k}a_{n}\)成立，其中\(n∈N^{*}\)，则称\(\{a_{n}\}\)为“\(k\)阶递归数列”\(.\)给出下列结论：

\(①\)若\(\{a_{n}\}\)是等比数列，则\(\{a_{n}\}\)为“\(1\)阶递归数列”；

\(②\)若\(\{a_{n}\}\)是等差数列，则\(\{a_{n}\}\)为“\(2\)阶递归数列”；

\(③\)若\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n^{2}\)，则\(\{a_{n}\}\)为“\(3\)阶递归数列”．

其中正确的结论的个数是

定义：对于任意\(n∈{N}^{*} \)，满足条件\( \dfrac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}\leqslant {a}_{n+1} \)且\({a}_{n}\leqslant M (M\)是与\(n\)无关的常数\()\)的无穷数列\(\{a_{n}\}\)称为\(T\)数列。

\((1)\)若\({a}_{n}=-{n}^{2}+8n (n∈{N}^{*} )\)，证明：数列\(\{a_{n}\}\)是\(T\)数列；

\((2)\)设数列\(\{b_{n}\}\)的通项为\({b}_{n}=50n-( \dfrac{3}{2}{)}^{n} \)，且数列\(\{b_{n}\}\)是\(T\)数列，求常数\(M\)的取值范围；

\((3)\)设数列\({c}_{n}=| \dfrac{p}{n}-1| (n∈{N}^{*} ,1 < p < 2)\)，若数列\(\{c_{n}\}\)是\(T\)数列，求\(p\)的取值范围。

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且\({{a}_{n}}-2{{S}_{n}}=1\)．

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(0 < t < s\)，\({{T}_{n}}\)为数列\(\left\{ n{{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，问是否存在实数\(\lambda \)使得\(\lambda {{a}_{n}}+\dfrac{s}{{{T}_{n}}} < 3t\)对任意\(n\in {{\mathbf{N}}^{*}}\)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，请求出实数\(\lambda \)的取值范围．

如果\({S}_{n}=1+2+⋯+n(n∈{N}^{*}) \) \((n∈{N}^{*}) \)，\(Tn= \dfrac{{S}_{2}}{{S}_{2}-1}× \dfrac{{S}_{3}}{{S}_{3}-1}× \dfrac{{S}_{n}}{{S}_{n}-1} (n\geqslant 2,n∈{N}^{*}) \)，则\(T_{2017}\)的值为_________\(.(\)用分数形式表示\()\)