知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知数列{a_n}的奇数项是公差为d₁的等差数列，偶数项是公差为d₂的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=2．
（1）若S₅=16，a₄=a₅，求a₁₀；
（2）已知S₁₅=15a₈，且对任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1恒成立，求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n．求当d₁最大时，数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足 $a_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%3DS_%7B2n-1%7D$ ，n∈N^*．数列{b_n}满足 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%5Ccdot%20a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式 $%CE%BBT_%7Bn%7D%EF%BC%9Cn%2B8%5Ccdot%20%28-1%29%5E%7Bn%7D$ 恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即 $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7D$ ）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 ______ ．

难度：较易

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4．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁，x₂，总有不等式 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%7D%7B2%7D%E2%89%A4f%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 成立，则称函数f（x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%2Ba_%7Bn%2B2%7D%7D%7B2%7D%E2%89%A4a_%7Bn%2B1%7D$ 成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{a_n}满足如下两个条件：
①数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
②对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中 $b_%7Bn%7D%3Dn%5E%7B2%7D-6n%2B10$ ，则数列{a_n}中的第三项a₃的取值范围为 ______ ．

难度：较易

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

难度：中等

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6．设{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=4且a₁，a₃，a₆成等比数列，则{a_n}的前n项和S_n= ______ ．

难度：难

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7．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是（　　）

A．10

B．12

C．13

D．14

难度：较易

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8．已知实数a，b，c成等差数列，a+1，b+1，c+4成等比数列，且a+b+c=15，求a，b，c

难度：较易

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9．已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7Bn%7D%2B2%7D$ 的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁= $%20%5Cfrac%20%7B11%7D%7B7%7D$
（Ⅰ）求x_n与x_n+1的关系式；
（Ⅱ）令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7Bn%7D-2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，求证：数列{b_n}是等比数列，并写出通项公式；
（Ⅲ）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零正数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

难度：较易

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10．已知数列{a_n}满足：a₁=1，|a_n+1-a_n|=pⁿ，n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若{a_n}是递增数列，且a₁，2a₂，3a₃成等差数列，求p的值；
（2）若p= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，且{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a_n}，使得S_n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．

难度：中等

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