\(7\)月份，有一款新服装投入某市场销售，\(7\)月\(1\)日该款服装仅销售出\(3\)件，\(7\)月\(2\)日售出\(6\)件，\(7\)月\(3\)日售出\(9\)件，\(7\)月\(4\)日售出\(12\)件，以后每天售出的件数分别递增\(3\)件直到日销售量达到最大\((\)只有\(l\)天\()\)后，每天销售的件数开始下降，分别递减\(2\)件，到\(7\)月\(31\)日刚好售出\(3\)件．

    \((1)\)问\(7\)月几号该款服装销售件数最多\(?\)其最大值是多少\(?\)

    \((2)\)按规律，当该商场销售此服装达到\(200\)件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于\(20\)件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天\(?\)说明理由．

设数列\(\{{{a}_{n}}\}\)是公差大于\(0\)的等差数列，\({{S}_{n}}\)为数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\(.\)已知\({{S}_{3}}=9\)，且\(2{{a}_{1}}\)，\({{a}_{3}}-1\)，\({{a}_{4}}+1\)构成等比数列．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足\(\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}={{2}^{n-1}}(n\in {{N}^{*}})\)，设\({{T}_{n}}\)是数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和，证明\({{T}_{n}} < 6\)．

\((3)\)数列\(\{ c_{n}\}\)满足：\(c_{1}{=}2\)，\(c_{n{+}1}{=}3c_{n}{-}2n{+}1\)，求数列\(\{ c_{n}\}\)的通项公式。

已知每项均是正整数的数列\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},……,{a}_{100} \)，其中等于\(i\)的项有\({k}_{i} \)个\((i=1,2,3……)\)，设\({b}_{i}={k}_{1}+{k}_{2}+……+{k}_{j}(j=1,2,3……) \)，\(g(m)={b}_{1}+{b}_{2}+……+{b}_{m}-100m(m=1,2,3……) \)

\((1)\)设数列\({k}_{1}=40,{k}_{2}=30,{k}_{3}=20,{k}_{4}=10,{k}_{5}=……={k}_{100}=0 \)，求\(g(1)\)，\(g(2)\)，\(g(3)\)，\(g(4)\)；

\((2)\)若\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},……,{a}_{100} \)中最大的项为\(50\)，比较\(g(m)\)，\(g(m+1)\)的大小；

\((3)\)若\({a}_{1}+{a}_{2}+……+{a}_{100}=200 \)，求函数\(g(m)\)的最小值．

已知首项为\(\begin{matrix} & \dfrac{1}{2} \\ & \\ \end{matrix}\)的等比数列\(\{a\)\(n\)\(\}\)是递减数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{1}+a_{1}\)，\(S_{2}+a_{2}\)，\(S_{3}+a_{3\;\;\;\;\;\;\;}\)成等差数列．

\((\)Ⅰ\()\) 求数列\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\) 若\({b}_{n}={a}_{n}·{\log }_{2}{a}_{n} \)数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求满足不等式_{\( \dfrac{{T}_{n}+2}{n+2}\geqslant \dfrac{1}{16} \)}的最大\(n\)值．

已知数列\({ }\!\!\{\!\!{ }{{a}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)，点\((n,{{S}_{n}})(n\in {{N}^{*}})\)在函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x\)的图象上．

\((1)\)求数列\({ }\!\!\{\!\!{ }{{a}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的通项公式；

\((2)\)设数列\({ }\!\!\{\!\!{ }\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，不等式\({{T}_{n}} > \dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}(1-a)\)对任意正整数\(n\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．