已知等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中公差\(d\ne 0\)，有\({a}_{1}+{a}_{4}=14,且{a}_{1},{a}_{2},{a}_{7} \)成等比数列．

\((\)Ⅰ\()\)求\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\(a_{n}^{{}}\)与前\(n\)项和公式\({{S}_{n}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)令\({{b}_{n}}=\dfrac{{{S}_{n}}}{n+k}\left( k\ne 0 \right)\)，若\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列，求数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，

已知函数\(f(x)=4x+1\)，\(g(x)=2x\)，\(x∈R\)，数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)满足条件：\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=f(b_{n})=g(b_{n+1})(n∈N^{*})\)，\({{c}_{n}}=\dfrac{1}{[\dfrac{1}{2}f(n)+\dfrac{1}{2}][g(n)+3]}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)，并求使得\({{T}_{n}} > \dfrac{m}{150}\)对任意\(n∈N^{*}\)都成立的最大正整数\(m\)；

\((\)Ⅲ\()\)求证：\(\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}+\cdots +\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}} > \dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}\)．

设数列\(\{a_{n}\}\)是各项均为正数的等比数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{1}a_{5}=64\)，\(S_{5}-S_{3}=48\)．

\((1)\) 求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(;\)

\((2)\) 对于正整数\(k\)，\(m\)，\(l(k < m < l)\)，求证：“\(m=k+1\)且\(l=k+3\)”是“\(5a_{k}\)，\(a_{m}\)，\(a_{l}\)这三项经适当排序后能构成等差数列”的充要条件\(;\)

\((3)\) 设数列\(\{b_{n}\}\)满足：对任意的正整数\(n\)，都有\(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+a_{3}b_{n-2}+…+a_{n}b_{1}=3·2^{n+1}-4n-6\)，且集合\(M=\left\{ n\left| \dfrac{b_{n}}{a_{n}}{\geqslant }\lambda\mathrm{{,}}n\mathrm{{∈}}N^{\mathrm{{*}}} \right\} \right.\)中有且仅有\(3\)个元素，试求\(λ\)的取值范围．

在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=3\)，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的各项均为正数，\({{b}_{1}}=1\)，公比为\(q\)，且\({{b}_{2}}+{{S}_{2}}=12,q=\dfrac{{{S}_{2}}}{{{b}_{2}}}\)

已知公差不为\(0\)的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)，若\({{a}_{2}}+{{a}_{4}}=10\)，且\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{5}}\)成等比数列，则\({{a}_{1}}=\)_________，\({{a}_{n}}=\)_______．

已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，公差\(d\)不为零，前\(n\)项和是\(S_{n}\)，若\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{8}\)成等比数列，则\((\)　　\()\)