知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB=1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有
1
AQ
+
1
AR
=2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB=1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有．

难度：较难

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2．已知m，n∈N^*且n＞m，在公比为q的等比数列{a_n}中，有a_n=a_m•q^n-m成立，类似地，在公差为d的等差数列{b_n}中，有成立．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=2^x，若x₁，x₂是R上的任意两个数，且x₁≠x₂，则
2x1+2x2
2
＞2
x1+x2
2
，请对比函数f（x）=2^x得到函数g（x）=lgx一个类似的结论：．

难度：中等

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4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=
2S
a+b+c
；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r= ．

难度：较难

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5．若三角形的周长为l，内切圆半径为r，面积为s，则有s=
1
2
lr，根据类比思想，若四面体的表面积为S，内切球半径为R，体积为V，则有．

难度：中等

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6．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
O
．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S_△OBC•
OA
+S_△OAC•
OB
+S_△OAB•
OC
=
O
，将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有．

难度：中等

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7．如2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，5³=21+23+25+27+29，…观察以上等式，若类似上面各式方法将m³分拆得到的等式右边最后一个数109，则正整数m等于．

难度：较难

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8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=
1
2
（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁，S₂，S₃，S₄，则四面体的体积V= ．

难度：中等

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9．（1）计算
.
1 3
5 7
.
和
.
5 7
1 3
.
，
.
4 6
3 5
.
和
.
3 5
4 6
.
；
（2）通过（1）的计算结果，你能得到什么一般的结论？证明你的结论；
（3）将你的结论推广到三阶行列式中是否仍然成立？证明你的结论．

难度：较难

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10．已知等差数列{a_n}中，等式（m-n）a_m+n=ma_m-na_n（m、n∈N^*）恒成立，运用类比思想方法，可知在等比数列{b_n}中，与此类似的等式恒成立．

难度：较易

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