知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于问题：“已知关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），解关于x的不等式ax²-bx+c＞0”，给出如下一种解法：
解：由ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），得a（-x）²+b（-x）+c＞0的解集为（-2，1），
即关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-2，1）．
参考上述解法，若关于x的不等式
k
x+a
+
x+b
x+c
＜0的解集为（-3，-1）∪（1，2），则关于x的不等式
kx
ax+1
+
bx+1
cx+1
＜0的解集为．

难度：较难

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2．已知等差数列{a_n}中，有
an+1+an+2+…+a2n
n
=
a1+a2+…+a3n
3n
成立．类似地，在等比数列{b_n}中，
有成立．

难度：中等

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3．已知三角形的面积s=
1
2
c•r，其中c为三角形的周长，r为三角形内切圆半径，类比这一结论，用于研究三棱锥的体积，若三棱锥A-BCD的表面积为6，其内切球的表面积为4π，则三棱锥A-BCD的体积为．

难度：中等

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4．在抛物线y²=2px（p＞0）中有如下结论：过焦点F的动直线l交抛物线y²=2px（p＞0）于A、B两点，则
1
|AF|
+
1
|BF|
=
2
p
为定值，请把此结论类比到椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中有：；当椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1时，
1
|AF|
+
1
|BF|
= ．

难度：较难

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5．已知过圆C：x²+y²=R²上一点M（x₀，y₀）的切线方程为x0x+y0y=R2，类比上述结论，写出过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点P（x₀，y₀）的切线方程．

难度：中等

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6．专家由圆x²+y²=a²的面积S=πa²通过类比推理猜想椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的面积S=πab，之后利用演绎推理证明了这个公式是对的！在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|
x2
4
+y²≤1}，点集B={（x，y）|-3＜x＜3，-1＜y＜5}，则点集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为．

难度：较易

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7．若数列{a_n}为等差数列，且a_m=x，a_n=y（m≠n），则a_m+n=
mx-ny
m-n
．现已知数列{b_n}是各项均大于0的等比数列，且b_m=x，b_n=y（m≠n），则类比等差数列，你能得到什么结论？

难度：中等

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8．一个等差数列{a_n}共有n（n是奇数）项，若它的中间项为M，则它的前n项和S_n=nM．若数列{a_n}是等比数列，则类似的结论是．

难度：较易

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9．圆与椭圆都是有心二次曲线，在圆中有性质“过圆x²+y²=r²上一点（x₀，y₀）的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²，类比上述性质可得椭圆的一个性质为．

难度：较易

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10．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在
2+
2+
2+…
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程
2+x
确定出来x=2，类似地不难得到1+
1
1+
1
1+…
= ．

难度：较易

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