知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面内有下面关于直角三角形边长的勾股定理定理：直角三角形ABC中，AC⊥BC，则有AB²=AC²+BC²．将它类比到空间中关于直角三棱锥的面积的命题应该是：若三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA；则有．

难度：中等

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2．不等式（x+1）（x²-4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y₁=x+1和y₂=x²-4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则a+b= ．

难度：较难

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3．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：
x+
1
x
≥2，
x+
4
x2
=
x
2
+
x
2
+
4
x2
≥3，
x+
27
x3
=
x
3
+
x
3
+
x
3
+
27
x3
≥4，
…
类比得：x+
a
xn
≥n+1(n∈N*)，则a= ．

难度：中等

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4．在解不等式“x³+1＞0”中，我们有如下解题思路：设f（x）=x³+1，则f（x）在R上单调递增，且f（-1）=0，所以不等式x³+1＞0的解集是（-1，+∞）．类比上述解题思路，则不等式e^x+x-1＞0的解集为．

难度：中等

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5．如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB²=BD•BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有．

难度：较难

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6．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={
a
|
a
=(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量
a1
=(x1，y1)，
a2
=(x2，y2)，
a1
＞
a2
当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．
按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：
①若
e1
=(1，0)，
e2
=（0，1），
0
=(0，0)则
e1
＞
e2
＞
0
；
②若
a1
＞
a2
，
a2
＞
a3
，则
a1
＞
a3
；
③若
a1
＞
a2
，则对于任意
a
∈D，
a1
+
a
＞
a2
+
a
；
④对于任意向量
a
＞
0
，
0
=(0，0)，若
a1
＞
a2
，则
a
•
a1
＞
a
•
a2
．
其中真命题的序号为．

难度：较难

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7．（2012春•汕头校级期中）在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，设h为斜边上的高，则
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
，类比此性质，如图，在四面体P-ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为a，b，c，设棱锥底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为．

难度：中等

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8．等差数列{a_n}中．有2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2，且n∈N^*）．类比以上结论，在等比数列{b_n}中类似的结论是．

难度：较易

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9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”．拓展到空间（如图），类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是．

难度：较易

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10．三角形与四面体有着类似的特征．如图1，△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，则
DB
DC
=
AB
AC
．依此类比：如图2，三棱锥S-PQR中，点M在QR上，若二面角Q-SP-M的大小等于二面角R-SP-M的大小，则
MQ
MR
= ．

难度：较易

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