知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）有时一个式子可以分拆成两个式子，求和时可以达到相消化简的目的，如我们初中曾学
过：
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
99×100
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
99
-
1
100
）=1-
1
100
=
99
100

请用上面的数学思维来证明如下：
1
sin2x
+
1
sin4x
+
1
sin8x
+
1
sin16x
+
1
sin32x
=cotx-cot32x（注意：cotx=
cosx
sinx
）
（2）当0＜x＜
π
2
时，且
sin8x-sinx
sinxsin8x
=
sin4x+sin2x
sin2xsin4x
，求x的值．

难度：较难

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2．下面有4个命题：
①当（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0时，的最小值为2；
②若双曲线的一条渐近线方程为，且其一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象；
其中错误命题的序号为（把你认为错误命题的序号都填上）．

难度：中等

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3．设F₁，F₂分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点．
（1）当a=2b，点P在双曲线上，且
PF1
•
PF2
=0，|
PF1
|-|
PF2
|=2时，求双曲线方程．
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1具有如下性质，若x=t交双曲线于P，Q，A₁，A₂为双曲线顶点，则A₁P，A₂Q交点的轨迹是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1．
试对椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1写出具有类似特征的性质，并予以证明．

难度：中等

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4．设等差数列{a_n}前n项和为S_n，则有以下性质：S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，S_4k-S_3k（k≠1）成等差数列
（1）类比等差数列的上述性质，写出等比数列{b_n}前n项积T_n的类似性质；
（2）证明（1）中所得结论．

难度：中等

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5．通过计算可得下列等式：
2³-1³=3×1²+3×1+1；
3³-2³=3×2²+3×2+1；
4³-3³=3×3²+3×3+1；
…
（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1．
将以上各等式两边分别相加，得
（n+1）³-1³=3（1²+2²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n；
即1²+2²+3²+…+n²=
1
6
n（n+1）（2n+1）．
类比上述求法，请你求出1³+2³+3³+…+n³的值．

难度：中等

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