知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．不等式（x+1）（x²﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y₁=x+1和y₂=x²﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则a+b=

难度：中等

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2．已知双曲正弦函数shx= $\text{[math]}$ 和双曲余弦函数chx= $\text{[math]}$ 与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论．

难度：中等

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3．观察下列等式：
①cos2α=2cos²α﹣1；
②cos4α=8cos⁴α﹣8cos²α+1；
③cos6α=32cos⁶α﹣48cos⁴α+18cos²α﹣1；
④cos8α=128cos⁸α﹣256cos⁶α+160cos⁴α﹣32cos²α+1；
⑤cos10α=mcos¹⁰α﹣1280cos⁸α+1120cos⁶α+ncos⁴α+pcos²α﹣1；
可以推测，m﹣n+p= ．

难度：中等

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4．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos²α+cos²β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．

难度：中等

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5．在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为 $\text{[math]}$ = ．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确算的OE的方程：（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）x+（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）y=0，请你求OF的方程：（）x+（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）y=0．

难度：中等

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7．经过圆x²+y²=r²上一点M（x₀ ， y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r² ．类比上述性质，可以得到椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1类似的性质为：经过椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1上一点P（x₀ ， y₀）的切线方程为．

难度：中等

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8．已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=
3
2
；sin²5°+sin²65°+sin²125°=
3
2
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题．

难度：较难

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9．下列表述正确的是．（填上你认为正确的全部序号）
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到特殊的推理．

难度：较易

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10．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为
OP
= ．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）

难度：较难

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