知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”

难度：中等

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2．已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x₁，x₂是关于x方程x²+bx+c=0的根，则x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c．
（Ⅰ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程（x-1）（x²-3x-4）=0的根，求x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程x³+bx²+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃与系数的关系，并加以证明．

难度：中等

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3．平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则
1
a2
+
1
b2
=
1
h2
拓展到空间：设三棱锥A-BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有．

难度：中等

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4．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C（r）=6
3
r，面积S（r）=3
3
r²，发现S′（r）=C（r）．相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S（r）=24
3
r²．请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V（r）= （写出关于r的表达式）．

难度：中等

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5．已知圆C：x²+y²=r²具有如下性质：若M，N是圆C上关于原点对称的两个点，点P是圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k_PM，k_PN，则k_PM与k_PN之积是一个与点P的位置无关的定值．利用类比思想，试对椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1写出具有类似特征的性质，并加以证明．

难度：较难

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6．已知点A（x₁，log_ax₁），B（x₂，log_ax₂）是函数y=log_ax（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论
logax1+logax2
2
＜log_a
x1+x2
2
成立，运用类比思想方法可知，若点C（x₁，cosx₁）、D（x₂，cosx₂）是函数y=cosx（-
π
2
，
π
2
）的图象上任意不同两点，则类似地有成立．

难度：较难

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7．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S_△OBC•
OA
+S_△OCA•
OB
+S_△OBA•
OC
=
0
，将它类比到空间情形可以是：．

难度：较难

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8．用一条直线截长方形，可截得一个直角三角形，按图（1）所标边长，得c²=a²+b²．用一个平面截长方体，可截得三棱锥P-ABC，如图（2），若S表示截面面积，S₁，S₂，S₃分别表示其余三个面的面积，则类比得到的结论是．

难度：较难

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9．对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A₁，B₁，C₁，则AA1+BB1+CC1≥
9R
2
”．
证明如下：
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OAC
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=1，
即：
AA1-R
AA1
+
BB1-R
BB1
+
CC1-R
CC1
=1，即
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
=
2
R
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
9R
2
．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A₁，B₁，C₁，D₁，则 ”．

难度：较难

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10．先解答（1），再通过类比解答（2）：
（1）①求证：tan(x+
π
4
)=
1+tanx
1-tanx
；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=
1+f(x)
1-f(x)
，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

难度：较难

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