知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设a，b是非负实数，求证：a³+b³≥
ab
（a²+b²）．

难度：较难

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2．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

难度：中等

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3．已知n≥0，试用分析法证明：
n+2
-
n+1
≤
n+1
-
n
．

难度：中等

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4．已知a，b，c∈R⁺，求证：
a
b+c
+
b
a+c
+
c
a+b
≥
3
2
．

难度：中等

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5．设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：
ab
≥
2
1
a
+
1
b
；
（Ⅱ）如果依次称
a+b
2
、
ab
、
2
1
a
+
1
b
分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．

难度：中等

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6．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．

难度：中等

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7．设a₁，a₂，…，a_n为正数，求证：
a
2
1
a2
+
a
2
2
a3
+…+
a
2
n-1
an
+
a
2
n
a1
≥a₁+a₂+…+a_n．

难度：中等

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8．设x_i，y_i （i=1，2，…，n）是实数，且x₁≥x₂≥…≥x_n，y₁≥y₂≥…≥y_n，而z₁，z₂，…，z_n是y₁，y₂，…，y_n的一个排列．求证：
n
i-1
（x_i-y_i）²≥
n
i-1
（x_i-z_i）²．

难度：较难

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9．求证：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．

难度：较难

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10．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．

难度：中等

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