知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用分析法、综合法证明：若a＞0，b＞0，a≠b，则
a+b
2
＞
ab
．

难度：中等

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2．如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=
1
3
AC，AE=
2
3
AB，BD，CE相交于点F．
（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

难度：较难

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3．设函数f（x）=e^x-x-1，g（x）=e^2x-x-7．
（1）解不等式f（x）≤g（x）；
（2）事实上：对于∀x∈R，有f（x）≥0成立，当且仅当x=0时取等号．由此结论证明：(1+
1
x
)x＜e，（x＞0）．

难度：较难

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4．已知a，b，m是正实数，且a＜b，求证：
a
b
＜
a+m
b+m
．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函数是函数y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）对于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．当a，b，c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试分别探究下面两个问题：
（1）当1＜M＜2时，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
（2）M≥2，证明：对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．

难度：较难

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6．本题满分16分）两个数列{a_n}，{b_n}，满足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（参考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求证：{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

难度：较难

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7．已知f（x）=log₂
1-x
1+x
（-1＜x＜1）．
（1）若f（a）+f（b）=0，求证：a+b=0；
（2）设f(
1
2
)+f(
1
3
)=f(x0)，求x₀的值；
（3）设x₁、x₂∈（-1，1），是否存在x₃∈（-1，1），使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．在△ABC中，BD：DC=2：1，AE：EC=1：3，求OB：OE．

难度：中等

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9．如图所示，直线m∥n，AB⊥m，∠ABC=130°，那么∠α为．

难度：较易

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10．设a＞1，n∈N，若不等式
n a
-1＜
a-1
n
恒成立时，n的最小值为．

难度：较难

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