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          共50条信息

            • 1． 对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1．
              对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）．
              又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．
              设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．
              （Ⅰ）如果数列A0为2，6，4，8，写出数列A1，A2；
              （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
              （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．
              难度：较难
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            • 2． 设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，Pn是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．
              （1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足|
              FP1
              |+|
              FP2
              |+|
              FP3
              |=6              ；
              （2）当n≥3时，若
              FP1
              +
              FP2
              +…+
              FPn
              =
              0
              ，求证：|
              FP1
              |+|
              FP2
              |+…+|
              FPn
              |=np              ；
              （3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
              FP1
              |+| 
              FP2
              |+…+|  
              FPN
              |=np              ，则
              FP1
              +
              FP2
              +…+
              FPN
              =
              0
              ”开展了研究并发现其为假命题．
              请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
              1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
              2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
              3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．
              难度：较难
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            • 3． 设函数f（x）=（x-1）2+blnx，其中b为常数．
              （1）当b＞
              1
              2
              时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
              （2）当b≤0时，求f（x）的极值点并判断是极大值还是极小值；
              （3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式
              1
              n2
              ＜ln（n+1）-lnn＜
              1
              n
              都成立．
              难度：较难
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            • 4． 已知n次多项式Sn（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2nx），其中n是正整数．记Sn（x）的展开式中x的系数是an，x2的系数是bn．
              （Ⅰ）求an；
              （Ⅱ）证明：bn+1-bn=4n+1-2n+2；
              （Ⅲ）是否存在等比数列{cn}和正数c，使得bn=（cn-c）（cn+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项cn和正数c；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 5． 已知a，b，c，m∈R，且满足a＜
              a-b+mb
              m
              ＜b＜
              b+2c-mc
              3-m
              ＜c              ，则m的取值范围为    ．
              难度：较难
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            • 6． 已知函数f（x）=tanx，x∈（0，
              π
              2
              ），若x1，x2∈（0，
              π
              2
              ），且x1≠x2
              （Ⅰ）用分析法证明：
              1
              2
              [f（x1）+f（x2）]＞f（
              x1+x2
              2
              ）；
              （Ⅱ）借助图象，分析函数y1=ex，y2=lnx是否符合上述性质（无需证明）．
              难度：中等
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