知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b^a＞a^b．（提示：可考虑用分析法找思路）

难度：中等

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2．（1）用综合法证明：[sinθ（1+sinθ）+cos（1+cosθ）][
2
sin（θ+
π
4
）-1]=sin2θ；
（2）用证明：正数a，b，c满足a+b＜2c，求证：c-
c2-ab
＜a＜c+
c2-ab
．

难度：中等

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3．证明：
1
2
•
3
4
•
5
6
…
23
24
＜
1
5
．

难度：中等

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4．已知a＞b＞c，a+b+c=0，求证：
c
a-c
＞
c
b-c
．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2^x，x₁，x₂是任意实数，且x₁≠x₂，证明
1
2
[f（x₁）+f（x₂）]＞f（
x1+x2
2
）

难度：中等

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6．证明：x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x．

难度：中等

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7．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M为BC的中点，BN⊥AM，且交AC于点N，用解析法证明：∠CMN=∠BMA．

难度：中等

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8．设a，b，c，d为正实数，且满足a²+b²+c²+d²=4．证明：a+b+c+d≥
2
3
（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

难度：中等

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9．已知集合A={x|x=m+n
2
，m∈Z，N∈Z}
（1）证明：任何整数都是A的元素．
（2）设x₁，x₂∈A，求证：x₁•x₂∈A．

难度：较易

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10．正实数a₁（i=1，2，…，10）满足条件
10
i=1
a_i=30．求证：
10
i=1
（a_i-1）（a_i-2）（a_i-3）≥0．

难度：中等

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