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          共50条信息

            • 1．

              下面给出的命题是真命题还是假命题？用分析法证明你的结论\(.\)命题：若\(a > b > c\)且\(a+b+c=0\)，则\(\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}-ac}}{a} < \sqrt{3}\)．

              难度：中等
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            • 2．

              已知性质\(A\)：“在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，若\({{a}_{12}}=0\)，则\(a_{1}{+}a_{2}{+…+}a_{n}{=}a_{1}{+}a_{2}{+…+}a_{23{-}n}\)．\((n < 23,n\in {{N}^{*}})\)成立” ．

                  \((1)\)类比性质\(A\)，请写出等比数列的类似性质\(B\)：

              性质\(B\)：“在等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)中，若\({{b}_{11}}=1\)，_________________________________” ．

                  \((2)\)证明性质\(A\)或性质\(B\)．

              难度：难
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            • 3．

              已知函数\(f(x)=ax^{2}+bx+c(a,b,c∈R)\)，当\(x∈[-1,1]\)时，\(|f(x)|\leqslant 1\)．

              \((1)\)求证：\(|b|\leqslant 1\)；

              \((2)\)若\(f(0)=-1\)，\(f(1)=1\)，求实数\(a\)的值．

              难度：中等
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            • 4．

              请按要求完成下列两题的证明

              \((1)\)已知\(0 < a < 1,0 < b < 1\)，用分析法证明：\(\dfrac{a+b}{1+ab}\leqslant 1\)

              \((2)\)若\(x,y\)都是正实数，且\(x+y > 2,\)用反证法证明：\(\dfrac{1+x}{y} < 2\)与\(\dfrac{1+y}{x} < 2\)中至少有一个成立．







              ​

              难度：较难
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            • 5．

              欲证\(\sqrt{{2}}-\sqrt{{3}} < \sqrt{{6}}-\sqrt{{7}}\)，只需证明 \((\)    \()\)


              A．\({{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}^{2}} < {{(\sqrt{6}-\sqrt{7})}^{2}}\)
              B．\({{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}^{2}} < {{(\sqrt{3}-\sqrt{7})}^{2}}\)
              C．\({{(\sqrt{2}+\sqrt{7})}^{2}} < {{(\sqrt{6}+\sqrt{3})}^{2}}\)
              D．\({{(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}^{2}} < {{(-\sqrt{7})}^{2}}\)
              难度：中等
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            • 6．

              常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程\(.\)(    )

              A．正确
              B．错误
              难度：易
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            • 7．
              已知\(f(x)= \dfrac {ax}{a+x}(x\neq -a)\)，且\(f(2)=1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n}),(n\in N^{*})\)，计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，并由此猜想通项公式\(a_{n}\)；
              \((\)Ⅲ\()\)证明\((\)Ⅱ\()\)中的猜想．
              难度：难
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            • 8． \((1)\)已知\(a\geqslant b > 0\)，求证：\(2{a}^{3}-{b}^{3}\geqslant 2a{b}^{2}-{a}^{2}b \)

              \((2)\)设\(a\)，\(b\)，\(c\)均为正数，且\(a+b+c=1\)．

              求证：\( \dfrac{{a}^{2}}{b}+ \dfrac{{b}^{2}}{c}+ \dfrac{{c}^{2}}{a}\geqslant 1 \)
              难度：较难
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            • 9．

              已知函数\(f(x)=(ax-1)e^{x}\)，\(a∈R\)．

              \((\)Ⅰ\()\)讨论\(f(x)\)的单调区间；

              \((\)Ⅱ\()\)当\(m > n > 0\)时，证明：\(me^{x}+n < ne^{n}+m\)．

              难度：难
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            • 10． 已知\(a\)，\(b\)，\(m\)是正实数，且\(a < b\)，求证：\( \dfrac {a}{b} < \dfrac {a+m}{b+m}\)．
              难度：难
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