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          共50条信息

            • 1．

              \((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} > 2x+\dfrac{1}{x} > 2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)；

              \((2)\)若\(a < e\)，用反证法证明：函数\(f(x)=xe^{x}-ax^{2}(x > 0)\)无零点．

              难度：难
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            • 2．

              分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设\(a > b > c \)，且\(a+b+c=0 \)，求证\( \sqrt{{b}^{2}-ac} < \sqrt{3}a \)”索的因应是

              A．\(a-b > 0 \)
              B．\(a-c > 0 \)
              C．\(\left(a-b\right)(a-c) > 0 \)
              D．\(\left(a-b\right)(a-c) < 0 \)
              难度：较易
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            • 3．

              设\(a\)，\(b\)，\(c\)为一个三角形的三条边，\(s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\)，且\(s^{2}=2ab\)，试证：\(s < 2a\)．

              难度：中等
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            • 4．
              要证明\(\sqrt{3} +\sqrt{7} < 2+\sqrt{6} \)，在合情推理法、演绎推理法、分析法和综合分析法中，选用的最适合的证法是____________．
              难度：较易
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            • 5．

              综合法是直接证明，分析法是间接证明\(.\)(    )

              A．\(√\)
              B．\(×\)
              难度：较易
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            • 6．

              设\(n\)是正整数，求证：\(\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n+2} +…+\dfrac{1}{2n} < 1\)．

              难度：中等
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            • 7．

              \((1)\)若正实数\(a\)，\(b\)满足\(a+b= \dfrac{1}{2}\)，求证：\( \sqrt{a}+ \sqrt{b}\leqslant 1\)．

              \((2)\)设\(a\)，\(b\)，\(c > 0\)，且\(ab+bc+ca=1.\)求证：\(a+b+c\geqslant \sqrt{3}\)．

              难度：中等
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            • 8．

              已知函数\(f\left(x\right)=\left|x\right|\left(x∈R\right) \)．

              \((I)\)求不等式\(f\left(x-1\right)+f\left(x+1\right)\leqslant 4 \)的解集\(M\)

              \((II)\)若\(a,b∈M \)证明\(:2f\left(a+b\right)\leqslant f\left(ab\right)+4 \)

              难度：中等
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            • 9．

              求证：\(\sin (2α+β)=\sin β+2\sin α\cos (α+β)\)．

              难度：中等
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            • 10．

              已知函数\(f(x)=x\ln x\)，\(g(x)= \dfrac{x}{{e}^{x}} \)．

              \((1)\)记\(F(x)=f(x)-g(x)\) ，判断\(F(x)\)在区间\((1,2)\)内零点个数并说明理由；

              \((2)\)记\(F(x)\)在\((1,2)\)内的零点为\(x_{0}\) ，\(m(x)=min\{f(x),g(x)\}\) ，若\(m(x)=n(n∈ R)\)在\((1,+∞) \)有两个不等实根\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\) ，判断\(x_{1}+x_{2}\)与\(2x_{0}\)的大小，并给出对应的证明．

              难度：难
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