知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如下表所示：
资金投入x 2 3 4 5 6
利润y 2 3 5 6 9
参考公式：
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
a
=
.
y
-
b
.
x

（1）画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程
y
=bx+a；
（3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元．

难度：中等

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2．某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1
（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节）
高效非高效统计
新课堂模式 60 30 90
传统课堂模式 40 50 90
统计 100 80 180
请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．
（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．
①求至少有一节为C模式课堂的概率；
②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．
参考临界值表：
P（K²≧K₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
K₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n =a +b +c +d

难度：中等

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3．某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品．
从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：
甲厂的零件内径尺寸：
分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06） [30.06，30.10） [30.10，30.14）
频数 15 30 125 198 77 35 20
乙厂的零件内径尺寸：
分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06） [30.06，30.10） [30.10，30.14）
频数 40 70 79 162 59 55 35
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”；
甲厂　　　乙厂　　合计
优质品
非优质品
合计
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k₀） 0.100 0.050　　　　 0.010　　　　　 0.025　　　　 0.001
k 2.706　　　　 3.841　　　　 5.024　　　　　 6.635　　　　 10.828
（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分两层）从乙厂中抽取5件零件，求从这5件零件中任意取出2件，至少有1件非优质品的概率．

难度：中等

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4．有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费（每人消费金额不超过 1000元），其中有女士1100名，男士900名，该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分折，如下表（消费金額卑位：元）
女士消费情况：
消费金额（0.200）
[200，400）
[400.600）
[600，800）
[800，1000]
人数 10 25 35 30 X
男士消费情况况：
消费金额（0.200）
[200，400）
[400.600）
[600，800）
[800.1000]
人数 15 30 25 Y 5
（1）计算算x，y的值；在抽出的200名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；
（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人，低于600元的网购者为“非网购达人”根据以上统计数据填写答题卡中的2×2列联表，并冋答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为网购达人与性别有关？”
附表：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d）

难度：中等

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5． “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 6.635 7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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6．某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课，访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A、B、C三类课的节数比例为3：2：1．
（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式．根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节）
高效非高效总计
新课堂模式 60 30 90
传统课堂模式 40 50 90
总计 100 80 180
请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．
（Ⅱ）教育专家用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．
参考临界值表：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n =a +b +c +d）．

难度：较易

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7．某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] ＞300
空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．
（Ⅰ）试写出S（ω）表达式；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计 100
附：参考数据与公式：
P（K²≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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8． 4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）
非读书迷读书迷合计
男 15
女 45
合计
（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
n=a+b+c+d
P（K²≥k₀） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

难度：中等

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9．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K²≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　）

A．有99%的人认为该栏目优秀

B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系

C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系

D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

难度：较易

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10．某校进行新课程改革已经四年，为了解教师对新课程改革教学模式的使用情况，进行问卷调查，共调查了50人，其中老教师20人，青年教师30人，老教师对新课改革赞同的有10人，不赞同的10人，青年教师中赞中的24人．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）判断是否有99%的把握说明对新课程模式的赞同情况与年龄有关？

难度：较易

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	高效	非高效	统计
新课堂模式	60	30	90
传统课堂模式	40	50	90
统计	100	80	180

P（K²≧K₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

分组	[29.86，29.90）	[29.90，29.94）	[29.94，29.98）	[29.98，30.02）	[30.02，30.06）	[30.06，30.10）	[30.10，30.14）
频数	15	30	125	198	77	35	20

	甲厂	乙厂	合计
优质品
非优质品
合计

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.025	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

消费金额	（0.200）	[200，400）	[400.600）	[600，800）	[800，1000]
人数	10	25	35	30	X

	高效	非高效	总计
新课堂模式	60	30	90
传统课堂模式	40	50	90
总计	100	80	180

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天数	4	13	18	30	9	11	15

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

P（K²≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

资金投入x	2	3	4	5	6
利润y	2	3	5	6	9

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828