知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）．
（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯．
（2）根据以上数据完成如下2×2列联表．

主食蔬菜主食肉类总计

50岁以下

50岁以上

总计

（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
独立性检验的临界值表

P（k²≥k₀）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．

难度：中等

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2．下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码x=年份-2013．

年份代码x 1 2 3 4

线下销售额y 95 165 230 310

（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；
（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？
参考公式及数据： $%20%5Chat%20%7Bb%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20%7Ba%7D%3D%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D-%20%5Chat%20%7Bb%7D%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ ， $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d

P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

难度：较易

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3．为调查于机是否对人们的日常学习有益，某调查公司随机抽取1000人进行了问卷调查，并根据年龄层次及意见进行了分类．数据如下表：

30岁以下 30岁及以上总计

认为手机对学习有益 400 700

认为手机对学习无益 200 300

总计 1000

（1）完善表中的数据，问能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对手机的态度与年龄有关系？
（2）现对30岁及其以上年龄的人员按分层抽样选取了5名代表，从这5名代表中随机选出两人发言，求两人恰好意见相反的概率．
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．
临界值表：

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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4．随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付在的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
手机支付	4	6	10	6	2	0

（Ⅰ）若从年龄在[55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，恰有一人使用手机支付为事件A，求P（A）；
（Ⅱ）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？

	手机支付	未使用手机支付	总计
中青年
中老年
合计

可能用到的公式：k²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d
独立性检验临界值表：

P（k²＞m）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
m	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

难度：较易

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5．在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.5²），数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若X～N（μ，σ²），
则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.96
② $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
③

P（K²≥K₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

K₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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6．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念．手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”．杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男 20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A（0～2000）步）（说明：“0～2000”表示大于等于0，小于等于2000．下同），B（2000～5000步），C（5001～000步），D（8001～10000步），E（10001步及以E），且B，D，E三种类别人数比例为1：3：4，将统计结果绘制如图所示的柱形图．
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步型”．
（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001～10000步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？

卫健型进步型总计

男 20

女 20

总计 40

（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为 x；女性好友中按比例选取5人，从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为 y，求事件“|x-y|＞1”的概率．
附：K²=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：较易

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7．共享单车已成为一种时髦的新型环保交通工具，某共享单车公司为了拓展市场，对A，B两个品牌的共享单车在编号分别为1，2，3，4，5的五个城市的用户人数（单位：十万）进行统计，得到数据如下：

城市
品牌 1 2 3 4 5

A品牌 3 4 12 6 8

B品牌 4 3 7 9 5

（Ⅰ）若共享单车用户人数超过50万的城市称为“优城”，否则称为“非优城”，据此判断能否有85%的把握认为“优城”和共享单车品牌有关？
（Ⅱ）若不考虑其它因素，为了拓展市场，对A品牌要从这五个城市选择三个城市进行宣传，
（ⅰ）求城市2被选中的概率；
（ⅱ）求在城市2被选中的条件下城市3也被选中的概率．
附：参考公式及数据

P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.845 5.024 6.635 7.879 10.828

$K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

难度：较易

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8．
近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？

对快递满意

对快递不满意

合计

对商品满意

80

对商品不满意

合计

200

（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．

附：K²＝ $%5Cfrac%7Bn%28ad-bc%7B%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ （其中n＝a+b+c+d为样本容量）

P（K²≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

难度：较易

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9．分双十一之后，网购粉丝们期待的双十二已然到来，为了解双十二消费者购物情况和电商的营业情况，做如下数据分析．据悉12月12日有2000名网购者在某购物网站进行网购消费（消费金额不超过1000元），其中有女士1100名，男士：900名，该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如表．（消费金额单位：元）
女士消费情况：

消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]

人数 10 25 35 30 x

男士消费情况：

消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]

人数 15 30 25 y 5

（1）计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[800，1000]（单位：元）网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；
（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率上不超过0.05的前提下认为“是否为网购达人”与性别有关？”

1 女士男士总计

网购达人

非网购达人

总计

附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d

P（K²≥k₀）　0.10 　0.05 　0.025 　0.010 　0.005

　k₀ 　2.706 　3.841 　5.024 　6.635 　7.879

难度：较易

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10．在2018年10月考考试中，成都外国语学校共有250名高三文科学生参加考试，数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这250名学生中本次考试数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果这次考试语文特别优秀的有5人，语文和数学两科都特别优秀的共有2人，从（1）中的数学成绩特别优秀的人中随机抽取2人，求选出的2人中恰有1名两科都特别优秀的概率．
（3）根据（1），（2）的数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
②

P（K²≥k₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

k₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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0/40

进入组卷

P（k²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	30岁以下	30岁及以上	总计
认为手机对学习有益	400		700
认为手机对学习无益		200	300
总计			1000

P（K²≥K₀）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
K₀	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.845	5.024	6.635	7.879	10.828

	对快递满意	对快递不满意	合计
对商品满意	80
对商品不满意
合计			200

消费金额	（0，200）	[200，400）	[400，600）	[600，800）	[800，1000]
人数	10	25	35	30	x

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	主食蔬菜	主食肉类	总计
50岁以下
50岁以上
总计

年份代码x	1	2	3	4
线下销售额y	95	165	230	310

	卫健型	进步型	总计
男			20
女			20
总计			40

城市品牌	1	2	3	4	5
A品牌	3	4	12	6	8
B品牌	4	3	7	9	5