知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校$200$名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间$($单位：分钟$)$进行调查，将收集的数据分成$[0,10)$，$[10,20)$，$[20,30)$，$[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$六组，并作出频率分布直方图$($如图$)$，将日均课外体育锻炼时间不低于$40$分钟的学生评价为“课外体育达标”．

课外体育不达标课外体育达标合计

男 $60$ ______ ______

女 ______ ______ $110$

合计 ______ ______ ______

$(1)$请根据直方图中的数据填写下面的$2×2$列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过$0.01$的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
$(2)$现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取$8$人，再从这$8$名学生中随机抽取$3$人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为$ξ$，求$ξ$的分布列和数学期望．
附参考公式与：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.15$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k_{0}$ $2.702$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

难度：较难

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2．
某高三理科班共有$60$名同学参加某次考试，从中随机挑选出$5$名同学，他们的数学成绩$x$与物理成绩$y$如下表：

数学成绩$x$ $145$ $130$ $120$ $105$ $100$

物理成绩$y$ $110$ $90$ $102$ $78$ $70$

数据表明$y$与$x$之间有较强的线性关系．
$(1)$求$y$关于$x$的线性回归方程；
$(2)$该班一名同学的数学成绩为$110$分，利用$(1)$中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
$(3)$本次考试中，规定数学成绩达到$125$分为优秀，物理成绩达到$100$分为优秀$.$若该班数学优秀率与物理优秀率分别为$50\%$和$60\%$，且除去抽走的$5$名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有$5$人$.$能否在犯错误概率不超过$0.01$的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据：回归直线的系数$ \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}$，$ \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}$．
$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$P(K^{2}\geqslant 6.635)=0.01$，$P(K^{2}\geqslant 10.828)=0.01$．

难度：较易

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3．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附临界值表：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

K²的观测值：k= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ （其中n=a+b+c+d）
关于商品和服务评价的2×2列联表：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	a=80	b= ______	______
对商品不满意	c= ______	d=10	______
合计	______	______	n=200

难度：难

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4．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（ $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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5．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．

（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班乙班总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，（n=a+b+c+d）
独立性检验临界值表：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：易

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6．随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	5	10	12	7	2	1

（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；

	年龄不低于45岁的人	年龄低于45岁的人	合计
赞成
不赞成
合计

（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

难度：较易

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7．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女中各随机抽取20名学生进行调研，统计得到如下列联表：
喜欢不喜欢总计
女生 15
男生 12 20
合计
附：参考公式及数据
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025
k 2.072 2.706 3.841 5.024
（1）在喜欢这项课外活动项目的学生中任选1人，求选到男生的概率；
（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？

难度：易

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8．某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ²），其中μ=500g，σ²=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．
（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．
进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：
（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？
品质
季节优质品数量合格品数量
夏秋季生产 26 8
春冬季生产 12 4
（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．
B₁ B₂
A₁ a b
A₂ c d
参考数据：
若X～N（μ，σ²），则P（（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.683，
P（（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，
P（（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，
X²= $%20%5Cfrac%20%7B%28a%2Bb%2Bc%2Bd%29%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
p（x²≥k₀） 0.100 0.050 0.010
k₀ 2.706 3.841 6.635

难度：较易

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9．微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：
型号
手机品牌 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
甲品牌（个） 4 3 8 6 12
乙品牌（个） 5 7 9 4 3
（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？
（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．
①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率；
②以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表供参考：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较易

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10．

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	a=30	b
捐款不超过500元	c	d=6
合计

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：临界值表参考公式：， $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D%EF%BC%8Cn%3Da%2Bb%2Bc%2Bd$ ．

难度：较易

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0/40

进入组卷

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.702\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

数学成绩\(x\)	\(145\)	\(130\)	\(120\)	\(105\)	\(100\)
物理成绩\(y\)	\(110\)	\(90\)	\(102\)	\(78\)	\(70\)

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	\(60\)	______	______
女	______	______	\(110\)
合计	______	______	______

品质季节	优质品数量	合格品数量
夏秋季生产	26	8
春冬季生产	12	4

型号手机品牌	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ
甲品牌（个）	4	3	8	6	12
乙品牌（个）	5	7	9	4	3

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

	喜欢	不喜欢	总计
女生	15
男生		12	20
合计

	B₁	B₂
A₁	a	b
A₂	c	d