知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的焦距为\(2\sqrt{3}\)，以椭圆右顶点\(A\)为圆心的圆与直线\(y=\dfrac{b}{a}x\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，且\(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}=0\)，\(\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OQ}\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)不过原点的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点，直线\(OM\)、\(l\)、\(ON\)的斜率\(k_{1}\)，\(k\)，\(k_{2}\)成等比数列\(.\)记以\(OM\)，\(ON\)为直径的圆的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求证：\(S_{1}+S_{2}\)为定值．

难度：难

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2．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，过左焦点且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于\(P\)、\(Q\)两点，\(\left| PQ \right|=3\) ．

\((I)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((II)\)若\(M\)为椭圆\(C\)的右顶点，点\(A,B\)是椭圆\(C\)上不同的两点\((\)均异于\(M)\)且满足直线\(MA\)与\(MB\)斜率之积为\(\dfrac{1}{4}.\)试判断直线\(AB\)是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

难度：难

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3．

设椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e=\dfrac{1}{2}\)，右焦点到直线\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)的距离\(d=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)，\(O\)为坐标原点．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)作两条互相垂直的射线，与椭圆\(E\)分别交于\(A\)、\(B\)两点，求点\(O\)到直线\(AB\)的距离．

难度：难

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4．
设抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)过点\(M(2,-2 \sqrt {2})\)．
\((\)Ⅰ\()\)求抛物线\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过点\(F(1,0)\)作相互垂直的两条直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，曲线\(C\)与\(l_{1}\)交于点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)，与\(l_{2}\)交于点\(Q_{1}\)，\(Q_{2}.\)证明：\( \dfrac {1}{|P_{1}P_{2}|}+ \dfrac {1}{|Q_{1}Q_{2}|}= \dfrac {1}{4}\)；
\((\)Ⅲ\()\)在\((\)Ⅱ\()\)中，我们得到关于抛物线的一个优美结论\(.\)请你写出关于椭圆\(Γ： \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)的一个相类似的结论\((\)不需证明\()\)．

难度：难

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5．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，点\(( \sqrt {3},- \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)在椭圆\(C\)上．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)作直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(M(x_{1},y_{1})\)，\(N(x_{2},y_{2})\)，若点\(P\)与点\(N\)关于\(x\)轴对称，判断直线\(PM\)是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

难度：中等

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6．
已知圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点，若曲线上相异两点、满足直线，的斜率之积为．

\((\)Ⅰ\()\)求的方程；

\((\)Ⅱ\()\)证明直线恒过定点，并求定点的坐标；

难度：难

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7．
如图，已知椭圆\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) \)的左焦点\(F\)为抛物线\(y^{2}=-4x\)的焦点，过点\(F\)做\(x\)轴的垂线交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，且\(|AB|=3\)

\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程
\((2)\)若\(M\)，\(N\)为椭圆上异于点\(A\)的两点，且满足\( \dfrac{ \overset{→}{AM}· \overset{→}{AF}}{|AM|}= \dfrac{ \overset{→}{AN·} \overset{→}{AF}}{| \overset{→}{AN}|} \)，问直线\(MN\)的斜率是否为定值\(?\)若是，求出这个定值；若不是，请说明理由

难度：难

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8．
已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\) 的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ，点\(\left( 2,\sqrt{2} \right)\)在\(C\)上\(.\)

\((I)\)求\(C\)的方程；

\((II)\)直线\(l\)不经过原点\(O\)，且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)中点为\(M\)，证明：直线\(OM\)的斜率与直线\(l\)的斜率乘积为定值．

难度：难

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9．已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，以原点\(O\)为圆心，椭圆\(C\)的长半轴为半径的圆与直线\(2x-\sqrt{2}y+6=0\)相切．

\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((2)\)已知点\(A\)，\(B\)为动直线\(y=k(x-2)(k\ne 0)\)与椭圆\(C\)的两个交点，问：在\(x\)轴上是否存在点\(E\)，使\({{\overrightarrow{EA}}^{2}}+\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{AB}\)为定值？若存在，试求出点\(E\)的坐标和定值，若不存在，请说明理由．

难度：难

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10．在直角坐标系\(xOy\)中，设圆的方程为\((x+2 \sqrt{2} )^{2}+y^{2}=48\)，\(F_{1}\)是圆心，\(F_{2}(2 \sqrt{2} ,0)\)是圆内一点，\(E\)为圆周上任一点，线段\(EF\)\(1\)的垂直平分线交\(EF\)\(2\)于点\(P\)，设动点\(P\)的轨迹为曲线\(C\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)设直线\(l(\)与\(x\)轴不重合\()\)与曲线\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，与\(x\)轴交于点\(M\)．
\((i)\)是否存在定点\(M\)，使得\( \dfrac{1}{|MA{|}^{2}}+ \dfrac{1}{|MB{|}^{2}} \)为定值，若存在，求出点\(M\)坐标及定值；若不存在，请说明理由；
\((ii)\)在满足\((i)\)的条件下，连接并延长\(AO\)交曲线\(C\)于点\(Q\)，试求\(\triangle ABQ\)面积的最大值\(.\)

难度：难

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