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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((2,0)\)，且椭圆\(C\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若动点\(P\)在直线\(x=-1\)上，过\(P\)作直线交椭圆\(C\)于\(M\)，\(N\)两点，且\(P\)为线段\(MN\)中点，再过\(P\)：作直线\(l⊥MN.\)求直线\(l\)是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．
              难度：较易
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            • 2．
              已知抛物线\(G\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，过焦点\(F\)的动直线\(l\)与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)．
              \((1)\)当直线\(l\)的倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)时，\(|AB|=16.\)求抛物线\(G\)的方程；
              \((2)\)对于\((1)\)问中的抛物线\(G\)，若点\(N(3,0)\)，求证：\(|AB|-2|MN|\)为定值，并求出该定值．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，\(F_{1}(-1,0)\)，\(F_{2}(1,0)\)分别是椭圆的左、右焦点，过点\(F_{2}(1,0)\)作直线\(l\)于椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(\triangle ABF_{1}\)的周长为\(4 \sqrt {3}\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(OA⊥OB.\)求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.\)设过点\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于不同两点\(A\)，\(B\)，\(\triangle AB F_{ 1 }\)周长为\(8\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(T(4,0)\)，证明：当直线\(l\)变化时，总有\(TA\)与\(TB\)的斜率之和为定值．
              难度：中等
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            • 5．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\;(a > b > 0)\)过\(A(2,0)\)，\(B(0,1)\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程及离心率；
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(Q\)在椭圆\(C\)上\(.\)试问直线\(x+y-4=0\)上是否存在点\(P\)，使得四边形\(PAQB\)是平行四边形？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，右顶点为\(A(2,0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\((1,0)\)的直线\(l\)交椭圆于\(B\)，\(D\)两点，设直线\(AB\)斜率为\(k_{1}\)，直线\(AD\)斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}k_{2}\)为定值．
              难度：难
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            • 7．
              已知过抛物线\(E\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点\(F\)，斜率为\( \sqrt {2}\)的直线交抛物线于\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})(x_{1} < x_{2})\)两点，且\(|AB|=6\)．
              \((1)\)求该抛物线\(E\)的方程；
              \((2)\)过点\(F\)任意作互相垂直的两条直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，分别交曲线\(E\)于点\(C\)，\(D\)和\(M\)，\(N.\)设线段\(CD\)，\(MN\)的中点分别为\(P\)，\(Q\)，求证：直线\(PQ\)恒过一个定点．
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((1, \dfrac {3}{2})\)，且离心率\(e= \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)：\(y=kx+m(k\neq 0)\)与椭圆交于不同的两点\(M\)、\(N\)，且线段\(MN\)的垂直平分线过定点\(G( \dfrac {1}{8},0)\)，求\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {2}\)，左右顶点分别为\(A\)，\(B\)，点\(M\)是椭圆上异于\(A\)，\(B\)的任意一点，记直线\(MA\)，\(MB\)的斜率分别为\(k_{MA}⋅k_{MB}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程，并证明：\(k_{MA}⋅k_{MB}\)是定值；
              \((2)\)设点\(N\)是椭圆\(C\)上另一个异于\(M\)，\(A\)，\(B\)的点，且满足直线\(NB\)的斜率等于\(2k_{MA}\)，试探究：直线\(MN\)是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．
              难度：难
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            • 10．
              已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，且过点\(( \sqrt {2}, \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)．
              \((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((2)\)设不过原点\(O\)的直线\(l\)：\(y=kx+m(k\neq 0)\)与椭圆\(E\)交于\(P\)，\(Q\)两点，直线\(OP\)，\(OQ\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，满足\(4k=k_{1}+k_{2}\)，试问：当\(k\)变化时，\(m^{2}\)是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
              难度：较易
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