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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为\(4\)．
              \((1)\)求椭圆的方程．
              \((2)\)设直线\(l\)与椭圆相交于不同的两点\(A\)，\(B\)，已知点\(A\)的坐标为\((-a,0)\)，点\(Q(0,y_{0})\)在线段\(AB\)的垂直平分线上，且\( \overrightarrow{QA}⋅ \overrightarrow{QB}=4\)，求\(y_{0}\)的值．
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C_{1}： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右顶点与抛物线\(C_{2}：y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点重合，椭圆\(C_{1}\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，过椭圆\(C_{1}\)的右焦点\(F\)且垂直于\(x\)轴的直线截抛物线所得的弦长为\(4 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C_{1}\)和抛物线\(C_{2}\)的方程；
              \((2)\)过点\(A(-2,0)\)的直线\(l\)与\(C_{2}\)交于\(M\)，\(N\)两点，点\(M\)关于\(x\)轴的对称点为\(M{{'}}\)，证明：直线\(M{{'}}N\)恒过一定点．
              难度：中等
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            • 3．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，经过椭圆\(C\)的右焦点的弦中最短弦长为\(2\)．
              \((1)\)求椭圆的\(C\)的方程；
              \((2)\)已知椭圆\(C\)的左顶点为\(A\)，\(O\)为坐标原点，以\(AO\)为直径的圆上是否存在一条切线\(l\)交椭圆\(C\)于不同的两点\(M\)，\(N\)，且直线\(OM\)与\(ON\)的斜率的乘积为\( \dfrac {7}{16}\)？若存在，求切线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 4．
              设\(O\)为坐标原点，椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F\)，离心率为\( \dfrac {2 \sqrt {5}}{5}.\)直线\(l\)：\(y=kx+m(m > 0)\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(AF\)的中点为\(M\)，\(|OM|+|MF|=5\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设点\(P(0,1)\)，\( \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-4\)，求证：直线\(l\)过定点，并求出定点的坐标．
              难度：中等
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            • 5．
              已知动点\(M(x,y)\)满足：\( \sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}+ \sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}=2 \sqrt {2}\)
              \((\)Ⅰ\()\)求动点\(M\)的轨迹\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(A\)，\(B\)是轨迹\(E\)上的两个动点，线段\(AB\)的中点\(N\)在直线\(l：x=- \dfrac {1}{2}\)上，线段\(AB\)的中垂线与\(E\)交于\(P\)，\(Q\)两点，是否存在点\(N\)，使以\(PQ\)为直径的圆经过点\((1,0)\)，若存在，求出\(N\)点坐标，若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 6．
              在平面直角坐标系中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\) \((a > 0,a\neq 1)\)的两个焦点分别是\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，直线\(l\)：\(y=kx+m(k,m∈R)\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点．
              \((1)\)若\(M\)为椭圆短轴上的一个顶点，且\(\triangle MF_{1}F_{2}\)是直角三角形，求\(a\)的值；
              \((2)\)若\(k=1\)，且\(\triangle OAB\)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形，求\(a\)与\(m\)满足的关系；
              \((3)\)若\(a=2\)，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {1}{4}\)，求证：\(\triangle OAB\)的面积为定值．
              难度：较难
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            • 7．
              如图，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((1\;,\; \dfrac {3}{2})\)，两个焦点为\(F_{1}(-1,0)\)和\(F_{2}(1,0).\)圆\(O\)的方程为\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)过\(F_{1}\)且斜率为\(k(k > 0)\)的动直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，与圆\(O\)交于\(P\)、\(Q\)两点\((\)点\(A\)、\(P\)在\(x\)轴上方\()\)，当\(|AF_{2}|\)，\(|BF_{2}|\)，\(|AB|\)成等差数列时，求弦\(PQ\)的长．
              难度：较易
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            • 8． 直线（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0过定点（　　）
              A．（1，-3）
              B．（4，3）
              C．（3，1）
              D．（2，3）
              难度：中等
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            • 9． 动直线l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0过定点P，则点P的坐标为    若直线l与不等式组
              x≥0
              y≥0
              2x+y≤2
              表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是    ．
              难度：较易
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            • 10． 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
              （1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；
              （2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．
              难度：较难
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