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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
              \((1)\)求椭园\(C\)的方程
              \((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(-2,-1)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)过点\(M\)作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆\(C\)交于异于\(M\)的另外两点\(P\)、\(Q\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)试判断直线\(PQ\)的斜率是否为定值，证明你的结论．
              难度：中等
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            • 3．
              已知点\(P\)是椭圆\(C\)上任一点，点\(P\)到直线\(l_{1}\)：\(x=-2\)的距离为\(d_{1}\)，到点\(F(-1,0)\)的距离为\(d_{2}\)，且\( \dfrac { d_{ 2 }}{d_{1}}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(A\)、\(B(A,B\)都在\(x\)轴上方\()\)，且\(∠OFA+∠OFB=180^{\circ}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)当\(A\)为椭圆与\(y\)轴正半轴的交点时，求直线\(l\)方程；
              \((3)\)对于动直线\(l\)，是否存在一个定点，无论\(∠OFA\)如何变化，直线\(l\)总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，四个顶点构成的四边形的面积为\(12\)，直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且线段\(AB\)的中点为\(M(-2,1)\)，则直线\(l\)的斜率为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {1}{3}\)
              B．\( \dfrac {3}{2}\)
              C．\( \dfrac {1}{2}\)
              D．\(1\)
              难度：较易
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            • 5．
              椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(M\)在椭圆上，\(\triangle MF_{1}F_{2}\)的周长为\(2 \sqrt {5}+4\)，面积的最大值为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)直线\(y=kx(k > 0)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)，连接\(AF_{2}\)，\(BF_{2}\)并延长交椭圆\(C\)于\(D\)，\(E\)，连接\(DE.\)探索\(AB\)与\(DE\)的斜率之比是否为定值并说明理由．
              难度：较难
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            • 6．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)，\((a > b > 0)\)的离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\((2, \sqrt {2})\)在\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)直线\(l\)不过原点\(O\)且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)的中点为\(M.\)证明：直线\(OM\)的斜率与\(l\)的斜率的乘积为定值．
              难度：较易
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            • 7．
              过点\(P(a,-2)\)作抛物线\(C\)：\(x^{2}=4y\)的两条切线，切点分别为\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，证明：\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)为定值．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆方程为\(x^{2}+ \dfrac {y^{2}}{8}=1\)，射线\(y=2 \sqrt {2}x(x\geqslant 0)\)与椭圆的交点为\(M\)，过\(M\)作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点\((\)异于\(M)\)．
              \((1)\)求证直线\(AB\)的斜率为定值；
              \((2)\)求\(\triangle AMB\)面积的最大值．
              难度：较易
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，经过点\(P( \sqrt {3}, \dfrac {1}{2})\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程．
              \((2)\)过点\(Q(0, \dfrac {1}{2})\)的直线与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，与直线\(y=2\)交于点\(M(\)直线\(AB\)不经过\(P\)点\()\)，记\(PA\)、\(PB\)、\(PM\)的斜率分别为\(k_{1}\)、\(k_{2}\)、\(k_{3}\)，问：是否存在常数\(λ\)，使得\( \dfrac {1}{k_{1}}+ \dfrac {1}{k_{2}}= \dfrac {λ}{k_{3}}\)？若存在，求出\(λ\)的值：若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 10．
              设椭圆\(M\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\(A(a,0)\)，\(B(0,-b)\)，原点\(O\)到直线\(AB\)的距离为\( \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)．
              \((I)\)求椭圆\(M\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(C\)为\((-a,0)\)，点\(P\)在椭圆\(M\)上\((\)与\(A\)、\(C\)均不重合\()\)，点\(E\)在直线\(PC\)上，若直线\(PA\)的方程为\(y=kx-4\)，且\( \overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{BE}=0\)，试求直线\(BE\)的方程．
              难度：较易
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