已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

如图所示，已知\(A\)、\(B\)、\(C\)是长轴长为\(4\)的椭圆\(E\)上的三点，点\(A\)是长轴的一个端点，\(BC\)过椭圆中心\(O\)，且\( \overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=0 \)，\(|BC|=2|AC|\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)在椭圆\(E\)上是否存点\(Q\)，使得\(|QB{{|}^{2}}-|QA{{|}^{2}}=2\)？若存在，有几个\((\)不必求出\(Q\)点的坐标\()\)，若不存在，请说明理由．

\((3)\)过椭圆\(E\)上异于其顶点的任一点\(P\)，作\(\odot O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{4}{3}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N\)，若直线\(MN\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(m\)、\(n\)，证明：\(\dfrac{1}{3{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\)为定值．

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的左、右焦点分别为\({F}_{1}\left(-c,0\right) \)和\({F}_{2}\left(c,0\right) \)，椭圆交\(y\)轴于\(S\)，\({{S}_{\vartriangle OS{{F}_{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，离心率\(e < \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)，直线\(l\)过点\(P\left(0,-c\right) \)交椭圆于\(A\)， \(B\)两点，当直线\(l\)过点\({F}_{2} \)时，\(\vartriangle {{F}_{1}}AB\)的周长为\(8\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((2)\)对于椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的切线有如下性质：若点\(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\)是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为\(\dfrac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1.\)若动点\(P\)在直线\(x+y=3 \)上，经过点\(P\)的直线\(m\)，\(n\)与椭圆\(C\)相切，切点分别为\(M\)，\(N.\)求证：直线\(MN\)必经过一定点．

已知抛物线\(C:{y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)与直线\(x- \sqrt{2}y+4=0 \)相切．

\((1)\)求该抛物线的方程；

\((2)\)在\(x\)轴的正半轴上，是否存在某个确定的点\(M\)，过该点的动直线\(l\)与抛物线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，使得\( \dfrac{1}{{\left|AM\right|}^{2}}+ \dfrac{1}{{\left|BM\right|}^{2}} \)为定值\(.\)如果存在，求出点\(M\)的坐标；如果不存在，请说明理由

已知点\({{F}_{1}}\left( -\sqrt{2},0 \right)\)，圆\({{F}_{2}}:{{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16\)，点\(M\)是圆上一动点，\(M{{F}_{1}}\)的垂直平分线与线段\(M{{F}_{2}}\)交于点\(N\)．

\((1)\)求点\(N\)的轨迹方程；

\((2)\)设点\(N\)的轨迹为曲线\(E\)，过点\(P\left( 0,1 \right)\)且斜率不为\(0\)的直线\(l\)与\(E\)交于\(A,B\)两点，点\(B\)关于\(y\)轴的对称点为\({B}{{{'}}}\)，证明直线\(A{B}{{{'}}}\)过定点，并求\(\Delta PA{B}{{{'}}}\)面积的最大值．