已知在平面直角坐标系\(xoy\)中，点\(M(\sqrt{3},0),N(-\sqrt{3},0)\)，动点\(P\)满足直线\(PM\)与\(PN\)的斜率乘积为\(-\dfrac{2}{3}.(1)\)求动点\(P\)的轨迹方程；\((2)\)设动点\(P\)形成的轨迹为\(C\)，\({{F}_{1}}(-1,0),{{F}_{2}}(1,0)\)，连接\(P{{F}_{1}}\)与曲线\(C\)的另一个交点为\(A\)，连接\(P{{F}_{2}}\)与曲线\(C\)的另一交点为\(B\)，设\(\overrightarrow{P{{F}_{1}}}={{\lambda }_{1}}\overrightarrow{{{F}_{1}}A},\overrightarrow{P{{F}_{2}}}={{\lambda }_{2}}\overrightarrow{{{F}_{2}}B},\)证明：\({{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}}\)为定值．

已知椭圆\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(\sqrt{7}x-\sqrt{5}y+12=0\)相切．

\((1)\)求椭圆\({C}\)的方程；

\((2)\)设\({A} \left( -4,0 \right)\)，过点\({R}\left( 3,0 \right)\)作与\(x\)轴不重合的直线\(l\)交椭圆\({C}\)于\(P\)，\(Q\)两点，连接\(AP\)，\(AQ\)分别交直线\(x=\dfrac{16}{3}\)于\({M} \)，\({N} \)两点，若直线\({M} {R}\)、\({N} {R}\)的斜率分别为\({{k}_{1}}\)、\({{k}_{2}}\)，试问：\({{k}_{1}}{{k}_{2}}\)是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

已知左焦点为\(F\left(-1,0\right) \)的椭圆过点\(E\left(1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right) .\)过点\(P\left(1,1\right) \)分别作斜率为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)的椭圆的动弦\(AB\)，\(CD\)，设\(M\)，\(N\)分别为线段\(AB\)，\(CD\)的中点．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > {b} > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线\(2x-\sqrt{2}y+6=0\)相切；

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)已知点\(A,B\)为动直线\(y=k(x-2)(k\neq 0) \)与椭圆\(C\)的两个交点，问：在\(x\)轴上是否存在点\(E\)，使\({{\overrightarrow{EA}}^{2}}+\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{{AB}}\)为定值？若存在，求出\(E\)的坐标和定值；若不存在，说明理由。

已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)、\(B\)两点，且满足\(|A{{F}_{1}}|+|A{{F}_{2}}|=4\sqrt{2}\)，\({{k}_{OA}}\cdot {{k}_{OB}}=-\dfrac{1}{2}\)，\(O\)为坐标原点．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；

\((\)Ⅱ\()\)证明：\(\triangle ABC\)的面积为定值．

已知定直线\(l:y=x+3\)，定点\(A(2,1)\)，以坐标轴为对称轴的椭圆\(C\)过点\(A\)且与\(l\)相切．

如图椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 (a > b > 0)\)的焦距为\(2\sqrt{3}\)，上下顶点分别为\(A(0,1)\)，\(B(0,-1)\)，过点\(P(0,2)\)斜率为\(k\)的直线\(l\)交椭圆于两个不同的点\(C\)，\(D\)，直线\(AD\)与\(BC\)交于点\(Q\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(M\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)试探究点\(Q\)的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系\(xOy \)中，\(A\)，\(B\)分别是椭圆\(G\)\(: \dfrac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1 \)的左、右顶点，\(P(2,t)(t∈R,且t\neq 0) \)为直线向\(x=2\)上的一个动点，过点\(P\)任意作一条直线\(l\)与椭圆\(G\)交于\(C\)，\(D\)，直线\(PO\)分别与直线\(AC\)，\(AD\)交于\(E\)，\(F\)．

\((1)\)当直线\(l\)恰好经过椭圆\(G\)的右焦点和上顶点时，求\(t\)的值；

\((2)\)记直线\(AC\)，\(AD\)的斜率分别为\({k}_{1},{k}_{2} \)．

已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\ne 0)\)与椭圆交于\(C\)，\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由。