\((1)\)求椭圆方程；

\((2)\)若\(C,D\)分别是椭圆长轴的左右端点，动点\(M\)满足\(MD\bot CD\)，连接\(CM\)，交椭圆于点\(P\)，证明：\(\overrightarrow{OM}\bullet \overrightarrow{OP}\)为定值；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，试问\(x\)轴上是否存在异于点\(C\)的定点\(Q\)，使得以\(MP\)为直径的圆恒过直线\(DP,MQ\)的交点？若存在，求出点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

已知曲线\(Γ\)上的点到点\(F(0,1)\)的距离比它到直线\(y=-3\)的距离小\(2\)．

    \((1)\)求曲线\(Γ\)的方程；

    \((2)\)曲线\(Γ\)在点\(P\)处的切线\(l\)与\(x\)轴交于点\(A\)，直线\(y=3\)分别与直线\(l\)及\(y\)轴交于点\(M\)，\(N.\)以\(MN\)为直径作圆\(C\)，过点\(A\)作圆\(C\)的切线，切点为\(B.\)试证明：当点\(P\)在曲线\(Γ\)上运动\((\)点\(P\)与原点不重合\()\)时，线段\(AB\)的长度为\(\sqrt{6}\)．

已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线\(l:y=-x+3\)与椭圆\(E\)有且只有一个公共点\(T\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程及点\(T\)的坐标；

\((\)Ⅱ\()\)设\(O\)是坐标原点，直线\(l’\)平行于\(OT\)，与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且与直线\(l\)交于点\(P\)\(.\)证明：存在常数\(\lambda \)，使得\({{\left| PT \right|}^{2}}=\lambda \left| PA \right|\cdot \left| PB \right|\)，并求\(\lambda \)的值．

双曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1(a > 0)\)的左、右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，过\({{F}_{2}}\)作\(x\)轴垂直的直线交双曲线\(C\)于\(A,B\)两点，\(\Delta {{F}_{1}}AB\)的面积为\(12\)，抛物线\(E:{{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)以双曲线\(C\)的右顶点为焦点．

\((1)\)求抛物线\(E\)的方程；

\((2)\)如图，点\(P\left( -\dfrac{p}{2},t \right)\left( t\ne 0 \right)\)为抛物线\(E\)的准线上一点，过点\(P\)作\(y\)轴的垂线交抛物线于点\(M\)，连接\(PO\)并延长交抛物线于点\(N\)，求证：直线\(MN\)过定点．

动点\(P\)在圆\(E\)：\({{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=16\) 上运动，定点\(F(1,0)\)，线段\(PF\)的垂直平分线与直线\(PE\)的交点为\(Q\)．

      \((\)Ⅰ\()\)求\(Q\)的轨迹\(T\)的方程；

      \((\)Ⅱ\()\)过点\(F\)的直线\({{l}_{1}}\)，\({{l}_{2}}\)分别交轨迹\(T\)于\(A\)， \(B\)两点和\(C\)， \(D\)两点，且\({{l}_{1}}\bot {{l}_{2}}.\)证明：过\(AB\)和\(CD\)中点的直线过定点．