知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在圆x²+y²=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BDM%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BDP%7D$ ；当点P在圆x²+y²=9上运动时，点M的轨迹为E．
（1）求点M的轨迹的方程E；
（2）与已知圆x²+y²=1相切的直线l：y=km+m交E于A，B两点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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2．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E1%29$ 中，a= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ b，且椭圆E上任一点到点 $P%28-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ 的最小距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%7D%7B2%7D$ ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l₁，l₂（l₁，l₂不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．

难度：较易

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3．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M， $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ =λ（ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ ），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：较易

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4．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ $%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，并且过点P（2，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

难度：较易

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5．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ $%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3PFG%7D%7D%7B%7COG%7C%7D$ 的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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6．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左右焦点分别为F₁，F₂，且经过点 $P%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29$ ，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，A为直线x=4上的动点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点B在椭圆C上，满足OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

难度：较易

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7．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，点F₁，F₂是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F₁PF₂= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ 且△F₁PF₂的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 上，若OM⊥ON，求证：原点O到直线MN的距离是定值．

难度：较易

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8．已知左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）的椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点 $%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D%29$ ，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（I）求椭圆C的离心率和标准方程．
（II）圆 $P_%7B1%7D%EF%BC%9A%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B7%7D%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B7%7D%29%5E%7B2%7D%3Dr%5E%7B2%7D%28r%EF%BC%9E0%29$ 与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P₁的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求|PF₁||QF₁|的取值范围．

难度：较易

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9．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率 $e%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为 $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P（x₀，y₀）为椭圆C上一点，直线l的方程为3x₀x+4y₀y-12=0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．

难度：较易

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10．在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ |DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BNB%7D$ 为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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