知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

难度：中等

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2．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
2
，
2
)，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆E交于P、A两点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，直线AC交椭圆E与另一点B，当k=
2
时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问∠APB是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A(
2
2
，
3
2
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=
5
3
上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足
PM
=
NQ
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
7
x-
5
y+12=0相切．求椭圆C的方程；
（2）已知⊙A₁：（x+2）²+y²=12和点A₂（2，0），求过点A₂且与⊙A₁相切的动圆圆心P的轨迹方程．

难度：中等

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5．已知椭圆C₁：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的离心率为
3
2
，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点是椭圆的顶点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M（-1，0）作抛物线的切线l，求切线l的方程．

难度：中等

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6．在圆O：x²+y²=4上任取一点P，过点P作y轴额垂线段PQ，Q为垂足．当P在圆上运动时，线段PQ中点G的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，若|MN|=
8
5
5
，试判断∠EOF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，且△PF₁F₂是高为
3
的等边三角形
（1）求椭圆C的方程
（2）已知动点Q（m，n）（mn≠0）在椭圆C上，点A（0，
3
），直线AQ交x轴于点M，点Q′为点Q关于x轴的对称点，直线AQ′交x轴于点N，若在y轴上存在点K（0，t），使得∠OKM=∠ONK，求满足条件的点K的坐标．

难度：中等

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F₁，F₂构成三角形MF₁F₂面积为
3
，又椭圆C的离心率为
3
2
，左右顶点分别为P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点D（m，0）（m∈（-2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；
（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．

难度：中等

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9．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率e=
2
2
，过C（-1，0）点且斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，且C点分有向线段
AB
所成的比为3．
（1）求该椭圆方程；
（2）P，Q为椭圆上两动点，满足
OP
•
OQ
=0，探求
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值，并说明理由．

难度：中等

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10．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
x=acosα
y=bsinα
（α为参数），点M（
6
2
，
1
2
）在曲线C上，且对应的参数α=
π
6
．
（1）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（2）过点P（0，2）作斜率为
3
的直线l，交曲线C于A、B两点，求直线l的参数方程及|PA|+|PB|的值．

难度：中等

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