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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为\(4\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)四边形\(ABCD\)的顶点在椭圆\(C\)上，且对角线\(AC\)，\(BD\)均过坐标原点\(O\)，若\(k_{AC}⋅k_{BD}=- \dfrac {1}{4}\)
              \((i)\)求\( \overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OB}\)的范围；\((ii)\)求四边形\(ABCD\)的面积．
              难度：难
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            • 2．
              已知直线\(l\)：\(x-y+9=0\)和椭圆\(C\)：\( \begin{cases} \overset{x=2 \sqrt {3}\cos \theta }{y= \sqrt {3}\sin \theta }\end{cases}(θ\)为参数\()\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的两焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的坐标；
              \((2)\)求以\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为焦点且与直线\(l\)有公共点\(M\)的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)右顶点与右焦点的距离为\( \sqrt {3}-1\)，短轴长为\(2 \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过左焦点\(F\)的直线与椭圆分别交于\(A\)、\(B\)两点，若三角形\(OAB\)的面积为\( \dfrac {3 \sqrt {2}}{4}\)，求直线\(AB\)的方程．
              难度：中等
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            • 4．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)，\((a > b > 0)\)的离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\((2, \sqrt {2})\)在\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)直线\(l\)不过原点\(O\)且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)的中点为\(M.\)证明：直线\(OM\)的斜率与\(l\)的斜率的乘积为定值．
              难度：较易
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            • 5．
              如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在\(x\)轴上，它的两条准线间的距离为\( \dfrac {8 \sqrt {6}}{3}\)，且离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，过点\(M(0,2)\)的直线\(l\)与椭圆相交于不同的两点\(P\)，\(Q\)，点\(N\)在线段\(PQ\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\( \dfrac {|PM|}{|PN|}= \dfrac {|MQ|}{|NQ|}=λ\)，若直线\(l\)与\(y\)轴不重合，求\(λ\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 6．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {y^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {x^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\(A\)，\(F\)分别是椭圆\(E\)的左顶点，上焦点，直线\(AF\)的斜率为\( \sqrt {3}\)，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与\(y\)轴交于异于原点的点\(P\)，与椭圆\(E\)交于\(M\)，\(N\)两个相异点，且\( \overrightarrow{MP}=λ \overrightarrow{PN}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)是否存在实数\(m\)，使\( \overrightarrow{OM}+λ \overrightarrow{ON}=4 \overrightarrow{OP}\)？若存在，求\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，设\(A(0,b)\)，\(B(a,0)\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，分别是椭圆的左右焦点，且\(S\;_{\triangle ABF_{2}}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)过\(F_{1}\)的直线与以\(F_{2}\)为焦点，顶点在坐标原点的抛物线交于\(P\)，\(Q\)两点，设\( \overrightarrow{F_{1}P}=λ \overrightarrow{F_{1}Q}\)，若\(λ∈[2,3]\)，求\(\triangle F_{2}PQ\)面积的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的\(3\)个顶点，直线\(l\)：\(y=-x+3\)与椭圆\(E\)有且只有一个公共点\(T\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程及点\(T\)的坐标；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(O\)是坐标原点，直线\(l′\)平行于\(OT\)，与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且与直线\(l\)交于点\(P.\)证明：存在常数\(λ\)，使得\(|PT|^{2}=λ|PA|⋅|PB|\)，并求\(λ\)的值．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆的焦距为\(6\)，在\(x\)轴上的一个焦点\(F\)与短轴两端点的连线互相垂直．
              \((1)\)求椭圆的标准方程；
              \((2)\)设直线\(y= \dfrac {1}{2}x+1\)与椭圆相交于\(A.B.\)求\(\triangle ABF\)的面积．
              难度：较难
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            • 10．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，且点\(P(2,1)\)在椭圆\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若点\(A\)、\(B\)都在椭圆\(C\)上，且\(AB\)中点\(M\)在线段\(OP(\)不包括端点\()\)上\(.\)求\(\triangle AOB\)面积的最大值．
              难度：较易
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