知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，\(O\)为坐标原点，给定两点\(A(1,0)\)，\(B(0,-2)\)，点\(C\)满足\( \overrightarrow{OC}=(m \overrightarrow{OA}+n \overrightarrow{OB})\)，其中\(m\)，\(n∈R\)且\(m-2n=1\)．
\((1)\)求点\(C\)的轨迹方程；
\((2)\)设点\(C\)的轨迹与双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0\)且\(a\neq b)\)交于\(M\)、\(N\)两点，且以\(MN\)为直径的圆过原点，求证：\( \dfrac {1}{a^{2}}- \dfrac {1}{b^{2}}\)为定值；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，若双曲线的离心率不大于\( \sqrt {3}\)，求双曲线实轴长的取值范围．

难度：难

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2．
已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\left(a > 0,b > 0\right) \)的右焦点为\(F\)，过\(F\)向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为\(M\)，与另一条渐近线于点\(N.\)若\(2 \overrightarrow{MF}= \overrightarrow{FN} \)，则双曲线的离心率为___________________．

难度：难

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3．求直线\( \begin{cases} x=2+t \\ y= \sqrt {3}t\end{cases}(t\)为参数\()\)被双曲线\(x^{2}-y^{2}=1\)所截得的弦长\(|AB|\)．

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)=\dfrac{{e}^{x}}{x} +a(x-\ln x).(e\)为自然对数的底数\()\)
\((\)Ⅰ\()\)当\(a > 0\)时，试求 \(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在\(x∈(\dfrac{1}{2} ,2)\)上有三个不同的极值点，求实数\(a\)的取值范围．
已知双曲线\(\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \) \((a > 0,b > 0)\)的右焦点为\(F(c,0)\)．
\((1)\)若双曲线的一条渐近线方程为\(y=x\)且\(c=2\)，求双曲线的方程；

\((2)\)以原点\(O\)为圆心，\(c\)为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为\(A\)，过\(A\)作圆的切线，斜率为\(-\)\(\sqrt{3} \)，求双曲线的离心率．

难度：难

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5．

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，过左焦点\({{F}_{1}}\left( -c,0 \right)\)作圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}\)的切线，切点为\(E\)，延长\({{F}_{1}}E\)交抛物线\({{y}^{2}}=4cx\)于点\(P\)，则线段\(PE\)的长为：

A．\(a\)

B．\(2a\)

C．\(\left( 1+\sqrt{3} \right)a\)

D．\(3a\)

难度：难

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6．
已知双曲线\( \dfrac{y^{2}}{a^{2}}- \dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0)\)的一条渐近线方程为\(2\)\(x\)\(+\)\(y\)\(=0\)，且顶点到渐近线的距离为\( \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)．

\((1)\)求此双曲线的方程；

\((2)\)设\(P\)为双曲线上一点，\(A\)，\(B\)两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若\( \overset{→}{AP}= \overset{→}{PB} \)，求\(\triangle \)\(AOB\)的面积．

难度：难

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7．

已知双曲线方程为\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1_{,过点}P(1,0)_{的直线}L_{与双曲线只有一个公共点,则}L_{的条数共有(\;)}\)

A． \(4\)

B．\(3\)

C．\(2\)

D．\(1\)

难度：较易

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8．
\((1)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(\dfrac{x^{2}}{7}-\dfrac{y^{2}}{3}=1\)的焦距是 ______ ．
\((2)\)不等式\(\dfrac{x{-}2}{x{-}1}\geqslant 2\)的解集是______ ．

\((3)\)已知\(F_{1}(-4,0)\)，\(F_{2}(4,0)\)动点\(M\)满足\(|MF_{1}|+|MF_{2}|=10\)，则动点\(M\)的轨迹方程 ______ ．

\((4)\)已知双曲线\(\dfrac{x^{2}}{16}{-}\dfrac{y^{2}}{9}{=}1\)的左支上一点\(P\)到左焦点的距离为\(10\)，则点\(P\)到右焦点的距离为 ______ ．

\((5)\)若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+…+na_{n}=n^{2}a_{n}\)，则\(a_{2017}= \)______ ．

\((6)\)已知\(m\)，\(n∈R\)\({\,\!}^{+}\)，\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n}=2 \)，当\(m+n\)取最小值\(2\)时，\(m\)、\(n\)对应的点\((m,n)\)是双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{4}− \dfrac{{y}^{2}}{2}=1 \)一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 ______ ．

难度：中等

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9．
已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0.b > 0)\)的离心率为\( \sqrt {3}\)，虚轴端点与焦点的距离为\( \sqrt {5}\)．
\((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
\((2)\)已知直线\(x-y+m=0\)与双曲线\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，且线段\(AB\)的中点在圆\(x^{2}+y^{2}=5\)上，求\(m\)的值．

难度：难

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10．

已知双曲线方程为\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1_{,过点}P(1,0)_{的直线}L_{与双曲线只有一个公共点,则}L_{的条数共有(\;)}\)

A． \(4\)

B．\(3\)

C．\(2\)

D．\(1\)

难度：中等

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