知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知$a∈R$，双曲线$Γ： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$
$(1)$若点$(2,1)$在$Γ$上，求$Γ$的焦点坐标
$(2)$若$a=1$，直线$y=kx+1$与$Γ$相交于$A$、$B$两点，且线段$AB$中点的横坐标为$1$，求实数$k$的值

难度：较易

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2．

已知$F_{1}$，$F_{2}$分别为双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的左焦点和右焦点，过$F_{2}$的直线$l$与双曲线的右支交于$A$，$B$两点，$\triangle AF_{1}F_{2}$的内切圆半径为$r_{1}$，$\triangle BF_{1}F_{2}$的内切圆半径为$r_{2}$，若$r_{1}=2r_{2}$，则直线$l$的斜率为$($　　$)$

A．$1$

B．$ \sqrt {2}$

C．$2$

D．$2 \sqrt {2}$

难度：较易

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3．

设双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的右顶点为$A$，右焦点为$F(c,0)$，弦$PQ$的过$F$且垂直于$x$轴，过点$P$，$Q$分别作直线$AP$，$AQ$的垂线，两垂线交于点$B$，若$B$到直线$PQ$的距离小于$2(a+c)$，则该双曲线离心率的取值范围是$($　　$)$

A．$(1, \sqrt {3})$

B．$( \sqrt {3},+∞)$

C．$(0, \sqrt {3})$

D．$(2, \sqrt {3})$

难度：较易

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4．
如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l_{1}$：$y=x$与直线$l_{2}$：$y=-x$之间的阴影部分记为$W$，区域$W$中动点$P(x,y)$到$l_{1}$，$l_{2}$的距离之积为$1$．
$($Ⅰ$)$求点$P$的轨迹$C$的方程；
$($Ⅱ$)$动直线$l$穿过区域$W$，分别交直线$l_{1}$，$l_{2}$于$A$，$B$两点，若直线$l$与轨迹$C$有且只有一个公共点，求证：$\triangle OAB$的面积恒为定值．

难度：较易

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5．

双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的右焦点$F(c,0)$关于渐近线的对称点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为$($　　$)$

A．$ \sqrt {2}$

B．$ \sqrt {3}$

C．$2$

D．$ \sqrt {5}$

难度：较易

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6．
已知双曲线$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(b > a > 0)$的右焦点为$F$，$O$为坐标原点，若存在直线$l$过点$F$交双曲线$C$的右支于$A$，$B$两点，使$ \overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OB}=0$，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．

难度：难

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7．若双曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的一条渐近线的倾斜角是直线l：x-2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B4%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$

难度：较易

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8．若O为坐标原点，直线y=2b与双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A、B两点，直线OA的斜率为-1，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）

A．± $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D$

B．± $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

C．± $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B30%7D%7D%7B5%7D$

D．± $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$

难度：较易

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9．若O为坐标原点，直线y=2b与双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A、B两点，直线OA的斜率为-1，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）

A．±

B．±

C．±

D．±

难度：中等

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10．

斜率为2的直线l过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）