知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率为\(2\)，右顶点为\((1,0)\)．
\((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
\((2)\)设直线\(y=-x+m\)与\(y\)轴交于点\(P\)，与双曲线\(C\)的左、右支分别交于点\(Q\)，\(R\)，且\( \dfrac {|PQ|}{|PR|}=2\)，求\(m\)的值．

难度：较易

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3．
已知双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和点\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，求此双曲线的方程．

难度：难

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4．
中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F( \dfrac { \sqrt {6}}{2},0)\)，渐近线方程为\(y=± \sqrt {2}x\)．
\(( I)\)求双曲线\(C\)的方程；
\(( II)\)直线\(l\)：\(y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．

过双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的左焦点\(F\)作直线\(l\)与双曲线交于\(A\)，\(B\)两点，使得\(|AB|=4b\)，若这样的直线有且仅有两条，则离心率\(e\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((1, \dfrac { \sqrt {5}}{2})\)

B．\(( \sqrt {5},+∞)\)

C．\(( \dfrac { \sqrt {5}}{2}, \sqrt {5})\)

D．\((1, \dfrac { \sqrt {5}}{2})∪( \sqrt {5},+∞)\)

难度：中等

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6．
已知\(F\)是双曲线\( \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{12}=1\)的左焦点，\(A(1,4)\)，\(P\)是双曲线右支上的动点，则\(|PF|+|PA|\)的最小值为 ______ ．

难度：难

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7．
已知中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\((2,0)\)，实轴长\(2 \sqrt {3}\)．
\((1)\)求双曲线的方程
\((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+ \sqrt {2}\)与双曲线恒有两个不同的交点\(A\)，\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为原点\()\)，求\(k\)的取值范围．

难度：较易

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8．
已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是双曲线\( \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\)的左右焦点，过\(F_{1}\)的直线\(l\)与双曲线的左、右两支分别交于\(B\)、\(A\)两点，若\(\triangle ABF_{2}\)为等边三角形，则\(\triangle AF_{1}F_{2}\)的面积为 ______ ．

难度：较易

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9．
若点\(P(2,0)\)到双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a > 0)\)的一条渐近线的距离为\(1\)，则\(a=\) ______ ．

难度：难

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10．

设曲线\(x= \sqrt {2y-y^{2}}\)上的点到直线\(x-y-2=0\)的距离的最大值为\(a\)，最小值为\(b\)，则\(a-b\)的值为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)

B．\( \sqrt {2}\)

C．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}+1\)

D．\(2\)

难度：较易

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