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          共50条信息

            • 1．
              设 \(A\)， \(B\)分别为双曲线\( \dfrac{x^2 }{a^2 }- \dfrac{y^2 }{b^2 }=1( \)\(a\)\( > 0\)， \(b\)\( > 0)\)的左、右顶点，双曲线的实轴长为\(4 \sqrt{3}\)，焦点到渐近线的距离为\( \sqrt{3}\)．

              \((1)\)求双曲线的方程；

              \((2)\)已知直线\(y\)\(= \dfrac{ \sqrt{3}}{3}\)\(x\)\(-2\)与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，且在双曲线的右支上存在点\(D\)，使\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\)\(t\)\(\overrightarrow{OD}\)，求\(t\)的值及点\(D\)的坐标．

              难度：较难
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            • 2．

              若直线\(y=kx+2\)与曲线\(x=\sqrt{{{y}^{2}}+6}\)交于不同的两点，那么\(k\)的取值范围是

              A．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3}, \dfrac{ \sqrt{15}}{3}\right) \)
              B．\(\left(0, \dfrac{ \sqrt{15}}{3}\right) \)
              C．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3},0\right) \)
              D．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3},-1\right) \)
              难度：较难
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            • 3．

              双曲线\(C\)的一条渐近线方程是\(x-2y=0\)，且双曲线\(C\)过点\((2\sqrt{2},1)\)．

              \((1)\)求双曲线\(C\)的方程\(;\)

              \((2)\)设双曲线\(C\)的左、右顶点分别是\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，\(P\)为\(C\)上任意一点，直线\(PA_{1}\)，\(PA_{2}\)分别与直线\(l:x=1\)交于\(M\)，\(N\)，求\(|MN|\)的最小值．

              难度：较难
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            • 4．
              已知椭圆\(C_{1}^{{}}: \dfrac{x^{2}}{9}+ \dfrac{y^{2}}{4}=1\)， 若双曲线\(C_{2}^{{}}\)与\(C_{1}^{{}}\)有公共焦点，并且离心率为\( \dfrac{ \sqrt{5}}{2}\)．
              \((1)\)求双曲线\(C_{2}^{{}}\) 的方程．

              \((2)\)求过点\((3,0)\)且与双曲线只有一个交点的直线方程．

              难度：较难
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            • 5．

              已知直线\(y\)\(=\)\(kx\)\(+2\)与双曲线\(x\)\({\,\!}^{2}-\)\(y\)\({\,\!}^{2}=6\)的右支交于不同的两点，则\(k\)的取值范围是         ．

              难度：较易
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            • 6．

              过点\(P(-2,2)\)的直线被双曲线\(x\)\({\,\!}^{2}-2\)\(y\)\({\,\!}^{2}=8\)截得的弦\(MN\)的中点恰好为\(P\)，则\(|\)\(MN\)\(|=\)_______________．

              难度：中等
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            • 7．

              设\(A\)、\(B\)分别为双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右顶点，双曲线的实轴长为\(4\sqrt[{}]{3}\)，焦点到渐近线的距离为\(\sqrt[{}]{3}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求双曲线的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)已知直线\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x-2\)与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，且在双曲线的右支上存在点\(D\)，使\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=t\ \overrightarrow{OD}\)，求\(t\)的值及点\(D\)的坐标．

              难度：难
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            • 8．

              设直线\(l\)：\(y=kx+m(\)其中\(k\)，\(m\)为整数\()\)，与椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)交于不同两点\(A\)，\(B\)，与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)交于不同两点\(C\)，\(D\)，使向量\( \overset{→}{AC}+ \overset{→}{BD}= \overset{→}{0} \)，符合上述条件的直线共有________条．

              难度：中等
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            • 9．

              已知直线\(y{=}kx{-}1\)和双曲线\(x^{2}{-}y^{2}{=}1\)的右支交于不同两点，则\(k\)的取值范围是________

              难度：难
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            • 10．

              设双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-{{y}^{2}}=1(a > 0)\)与直线\(l\)：\(x+y=1\)相交于两个不同的点\(A\)、\(B\)．

              \((1)\)求实数\(a\)的取值范围；

              \((2)\)设直线\(l\)与\(y\)轴的交点为\(P\)，若\(\overrightarrow{PA}=\dfrac{5}{12}\overrightarrow{PB}\)，求\(a\)的值．

              难度：中等
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