知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线\(C\)：\(x^{2}{-}y^{2}{=}1\)及直线\(l\)：\(y{=}kx{+}1\)．
\((1)\)若\(l\)与\(C\)有两个不同的交点，求实数\(k\)的取值范围；
\((2)\)若\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(AB\)中点横坐标为\(\sqrt{2}\)，求\(AB\)的长．

难度：较难

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2．

已知\({{F}_{1}}\)，\({{F}_{2}}\)为双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{25}-\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1\)的左、右焦点，\(P\)为\(C\)上异于顶点的点\(.\)直线\(l\)分别与\(P{{F}_{1}}\)，\(P{{F}_{2}}\)为直径的圆相切于\(A\)，\(B\)两点，则\(\left| AB \right|=\)( )

A．\(5\)

B．\(4\)

C．\(3\)

D．\(\sqrt{7}\)

难度：难

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3．

\((1)\)已知\(a\in R\)，\(i\)为虚数单位，若\(\dfrac{a-i}{2+i}\)为实数，则\(a\)的值为 __．

\((2)\)若直线\(l\)过点\((3,0)\)与双曲线\(4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}=36\)只有一个公共点，则这样的直线有条

\((3)\)函数\(f(x)=\ln (4+3x-x^{2})\)的单调递减区间是____________

\((4)\)抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)的焦点为\(F\)，\(A\)，\(B\)为抛物线上的两点，以\(AB\)为直径的圆过点\(F\)，过\(AB\)的中点\(M\)作抛物线的准线的垂线\(MN\)，垂足为\(N\)，则\(\dfrac{\left| MN \right|}{\left| AB \right|}\)的最大值为_____．

难度：难

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4．
为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航。某日，正巡逻在\(A\)处的 “唐山号”突然发现来自\(P\)处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的\(B\)、\(C\)两处，其中\(A\)在\(B\)的正东方向相距海里处，\(C\)在\(B\)的北偏西\(30^{\circ}\)方向相距\(4\)海里处。由于\(B\)、\(C\)比\(A\)距\(P\)更远，因此，\(4\)秒后\(B\)、\(C\)才同时发现这一信号\((\)该信号的传播速度为每秒\(1\)海里\()\)，试确定疑似敌舰相对于\(A\)点“唐山号”的位置．

难度：难

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5．
已知双曲线的方程是\(16{x}^{2}-9{y}^{2}=144 \)．

\((1)\)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程\(;\)

\((2)\)设\({F}_{1} \)和\({F}_{2} \)是双曲线的左、右焦点，点\(P\)在双曲线上，且\(\left|P{F}_{1}\right|·\left|P{F}_{2}\right|=32 \)，求\(∠{F}_{1}P{F}_{2} \)的大小．

难度：中等

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6．

过点\(P(5,4)\)作与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{5}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1\)有且只有一个公共点的直线共有______条

难度：较易

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7．

若直线\(y=kx+2 \)与双曲线\({x}^{2}-{y}^{2}=6 \)的左支交于不同的两点，则\(k \)的取值范围是\((\) \()\)

A．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3}, \dfrac{ \sqrt{15}}{3}\right) \)

B．\(\left(1, \dfrac{ \sqrt{15}}{3}\right) \)

C．\(\left(-1,1\right) \)

D．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3},-1\right) \)

难度：难

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8．
己知斜率为\(1\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0) \)相交于\(B\)、\(D\)两点，且\(BD\)的中点为\(M\left( 1,3 \right).\)则\(C\)的离心率\(=\)__________．

难度：难

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9．

设斜率为\( \dfrac{ \sqrt{2}}{2} \)的直线\(l\)与双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \)交于不同的两点，且这两个交点在\(x\)轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为 \((\) \()\)

A．\( \sqrt[4]{2} \)

B．\( \sqrt{2} \)

C．\( \sqrt[4]{3} \)

D．\( \sqrt{3} \)

难度：中等

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10．

直线\(y=kx-1\)与双曲线\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1\)的左支有两个公共点，则\(k\)的取值范围是

A．\((-\sqrt{2},0)\)

B．\((-\sqrt{2},\sqrt{2})\)

C．\((-\sqrt{2},-1)\)

D．\((-\sqrt{2},-1] \)

难度：中等

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