若直线\(y=kx+2\)与双曲线\(x^{2}-y^{2}=6\)的右支交于不同的两点，那么\(k\)的取值范围为\((\)　　\()\)

如图，已知椭圆的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)为顶点的三角形的周长为\(4(\sqrt{2}+1)\)，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设\(P\)为该双曲线上异于顶点的任一点，直线\(P{{F}_{1}}\)和\(P{{F}_{2}}\)与椭圆的交点分别为\(A,B\)和\(C,D\)，其中\(A,C\)在\(x\)轴的同一侧．

\((2)\)是否存在题设中的点\(P\)，使得\(\left| \overrightarrow{AB} \right|+\left| \overrightarrow{CD} \right|=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}\)？若存在， 求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．

已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)，过左焦点\({{F}_{1}}\)的直线切圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}\)于点\(P\)，交双曲线\(C\)右支于点\(Q\)，若\(\overrightarrow{{{F}_{1}}P}=\overrightarrow{PQ}\)，则双曲线\(C\)的渐近线方程为       ．

过双曲线\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\)的右焦点且与\(x\)轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线交于\(A\)，\(B\)两点，则\(|AB|=\)________．

设直线\(x-3y+m=0(m\ne 0)\)与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的两条渐近线分别交于点\(A,B.\)若点\(P(m,0)\)满足\(\left| PA \right|=\left| PB \right|\)，则该双曲线的离心率为_______________________．

已知双曲线\( \dfrac{y^{2}}{a^{2}}- \dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的一条渐近线方程为\(2x+y=0\)，且顶点到渐近线的距离为\( \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)．

\((1)\)求此双曲线的方程；

\((2)\)设\(P\)为双曲线上一点，\(A\)，\(B\)两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}\)，求\(\triangle AOB\)的面积．

已知动圆\(M\)与圆\({{C}_{1}}:{{(x+4)}^{2}}+{{y}^{2}}=2\)外切，与圆\({{C}_{2}}:{{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}=2\)内切．

\((1)\)求\(M\)的轨迹方程

\((2)\)若直线\(l\)与\(M\)交于\(A,B\)两点，且弦\(AB\)的中点\(P\)的坐标为\((2,1)\)，求直线\(l\)的方程

过双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的焦点且垂直于\(x\)轴的弦的长度为________．