知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设A，B为曲线C：y= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

难度：较易

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2．直线y=x-1被抛物线y²=4x截得线段的中点坐标是 ______ ．

难度：较易

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3．点P到点 $A%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A00%29%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0B%28a%EF%BC%8C%C2%A02%29$ 及到直线 $x%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

D． $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

难度：较难

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4．如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值；
（Ⅱ）如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

难度：中等

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7．已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（　　）条件

A．充要

B．充分不必要

C．必要不充分

D．既不充分也不必要

难度：难

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8．设A(x₁，y₁)．B(x₂，y₂)两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线．
1)当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

难度：较难

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9．如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0，b≠0)，且交抛物线y²=2px(p＞0)于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点．
(1)写出直线l的截距式方程；
(2)证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By_%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ ；
(3)当a=2p时，求∠MON的大小．

难度：中等

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10．己知点F为抛物线C：y²=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
(I)判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
(II)连接FT，FQ，FP，记S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时， $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B1%7DS_%7B2%7D%7D%7BS_%7B3%7D%7D$ 取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．

难度：难

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