知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设F₁，F₂分别是C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF₂与x轴垂直，直线MF₁与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为
3
4
，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F₁N|，求a，b．

难度：中等

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2．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且
AB
与
n
=（
2
，-1）共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使
OP
•
OQ
＜0，求实数m的取值范围．

难度：较易

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3．以椭圆x²+a²y²=a²（a＞1）的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，试问：
（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程．若不存在，说明理由．
（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？

难度：较难

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4．已知A，B，C为椭圆W：x²+2y²=2上的三个点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；
（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．

难度：较难

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是其左右焦点，离心率为
6
3
，且经过点（3，1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A₁，A₂分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A₁Q斜率为k，且k∈(-
1
2
， -
1
3
)，求直线A₂Q斜率的取值范围；
（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F₁QF₂的最小值．

难度：较难

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6．已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面积．

难度：中等

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7．中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=
2
2
的椭圆的短轴上两端点分别为A、B．M是椭圆上异于A、B的一点，直线AM、BM与x轴分别相交于P、Q两点，O是坐标原点，若
.
OP
•
.
OQ
=2，求椭圆的方程．

难度：中等

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8．设椭圆D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足
BF1
=
F1F2
，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）若过A、B、F₂三点的圆C恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；
（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足
OM
+
ON
=t
OP
（O为坐标原点），求实数t取值范围．

难度：较难

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9．已知椭圆
x2
32
+
y2
8
=1和圆x²+（y-6）²=5，在椭圆上求一点P₁，在圆上求一点 P₂，使|P₁P₂|达到最大值，并求出此最大值．

难度：较难

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10．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，满足
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，C）（C为半焦距），求直线AB的斜率k的值．

难度：较难

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