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          共50条信息

            • 1．
              椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(M\)在椭圆上，\(\triangle MF_{1}F_{2}\)的周长为\(2 \sqrt {5}+4\)，面积的最大值为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)直线\(y=kx(k > 0)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)，连接\(AF_{2}\)，\(BF_{2}\)并延长交椭圆\(C\)于\(D\)，\(E\)，连接\(DE.\)探索\(AB\)与\(DE\)的斜率之比是否为定值并说明理由．
              难度：较难
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            • 2．
              定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的\(.\) 如图，椭圆\(C_{1}\)与椭圆\(C_{2}\)是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点\(.\)椭圆\(C_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴长是\(4\)，椭圆\(C_{2}\)：\( \dfrac {y^{2}}{m^{2}}+ \dfrac {x^{2}}{n^{2}}=1(m > n > 0)\)短轴长是\(1\)，点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C_{1}\)的左焦点与右焦点，
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C_{1}\)，\(C_{2}\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过\(F_{1}\)的直线交椭圆\(C_{2}\)于点\(M\)，\(N\)，求\(\triangle F_{2}MN\)面积的最大值．
              难度：较易
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            • 3．
              设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为\(A(0,2)\)，右焦点\(F\)到点\(B( \sqrt {2}, \sqrt {2})\)的距离为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设经过点\((0,-3)\)的直线\(l\)与椭圆相交于不同两点\(M\)，\(N\)满足\(| \overrightarrow{AM}|=| \overrightarrow{AN}|\)，试求直线\(l\)的方程．
              难度：中等
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，焦距为\(2\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知椭圆\(C\)与直线\(x-y+m=0\)相交于不同的两点\(M\)、\(N\)，且线段\(MN\)的中点不在圆\(x^{2}+y^{2}=1\)内，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：难
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为\(4\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)四边形\(ABCD\)的顶点在椭圆\(C\)上，且对角线\(AC\)，\(BD\)均过坐标原点\(O\)，若\(k_{AC}⋅k_{BD}=- \dfrac {1}{4}\)
              \((i)\)求\( \overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OB}\)的范围；\((ii)\)求四边形\(ABCD\)的面积．
              难度：难
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            • 6．
              已知方程\( \dfrac {x^{2}}{|m|-1}+ \dfrac {y^{2}}{2-m}=1\)表示焦点在\(y\)轴上的椭圆，则\(m\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\(m < 2\)
              B．\(1 < m < 2\)
              C．\(m < -1\)或\(1 < m < 2\)
              D．\(m < -1\)或\(1 < m < \dfrac {3}{2}\)
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)右顶点与右焦点的距离为\( \sqrt {3}-1\)，短轴长为\(2 \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过左焦点\(F\)的直线与椭圆分别交于\(A\)、\(B\)两点，若三角形\(OAB\)的面积为\( \dfrac {3 \sqrt {2}}{4}\)，求直线\(AB\)的方程．
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，直线\(y=1\)与\(C\)的两个交点间的距离为\( \dfrac {4 \sqrt {6}}{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)分别过\(F_{1}\)、\(F_{2}\)作\(l_{1}\)、\(l_{2}\)满足\(l_{1}/\!/l_{2}\)，设\(l_{1}\)、\(l_{2}\)与\(C\)的上半部分分别交于\(A\)、\(B\)两点，求四边形\(ABF_{2}F_{1}\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 9．
              若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点\((4,0)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，求椭圆的标准方程．
              难度：较易
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            • 10．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)，\((a > b > 0)\)的离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\((2, \sqrt {2})\)在\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)直线\(l\)不过原点\(O\)且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)的中点为\(M.\)证明：直线\(OM\)的斜率与\(l\)的斜率的乘积为定值．
              难度：较易
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