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如图，在斜三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1\quad \quad }\)中，侧面\(AA_{1}B_{1}B⊥\)底面\(ABC\)，侧棱\(AA_{1}\)与底面\(ABC\)成\(60^{0}\)的角， \(AA_{1}= 2.\)底面\(ABC\)是边长为\(2\)的正三角形，其重心为\(G\)点。\(E\)是线段\(BC_{1}\)上一点，且\(BE=\dfrac{1}{3}BC_{1}\) ．
\((１)\)求证： \(GE/\!/\)侧面\(AA_{1}B_{1}B\) ；
\((２)\)求平面\(B_{1}GE\)与底面\(ABC\)所成锐二面角的正切值．
已知直角梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AB⊥AD\)，\(AB=AD=2CD=2\)，\(E\)、\(F\)分别是边\(AD\)、\(BC\)上的点，且\(EF/\!/AB\)，沿\(EF\)将\(EFCD\)折起并连接成如图的多面体\(CD—ABFE\)，折后\(BE⊥ED\)，
\((1)\)求证：\(AE⊥FC\)；
\((2)\)若折后直线\(AC\)与平面\(ABFE\)所成角\(θ\)的正弦值是\(\dfrac{\sqrt{{3}}}{{3}}\)，求证：平面\(ABCD⊥\)平面\(FCB\)．
如图，在椎体\(P-ABCD\)中，\(ABCD\)是边长为\(1\)的菱形，且\(∠DAB=60^{0}\)，\(PA=PD=\sqrt{2}\)， \(PB=2\) ， \(E\) 、\(F\)分别是\(BC\) 、 \(PC\)的中点\(.\)
\((1)\) 证明：\(AD\) \(⊥ \)平面\(DEF\)； \((2)\) 求二面角\(P-AD-B\)的余弦值．
如图，四棱锥\(P{-}{ABCD}\)中，底面\(ABCD\)为菱形，\({∠}ABC\ {=}\ 60{^{\circ}}\)，\(PA\ {=}\ PB\ {=}\ AB\ {=}\ 2\)，点\(N\)为\({AB}\)的中点．
\((1)\)证明：\(AB{⊥}PC\)
\((2)\)若点\(M\)为线段\({PD}\)的中点，平面\({PAB}{⊥}\)平面\({ABCD}\)，求二面角\(M{-}{NC}{-}P\)的余弦值．
如图所示的几何体是由以等边三角形\(ABC\)为底面的棱柱被平面\(DEF\)所截而得，已知\(FA\bot \)平面\(ABC\)，\(AB=2\)，\(BD=1\)，\(AF=2\)，\(CE=3\)，\(O\)为\(AB\)的中点。
\((1)\)求证：\(OC\bot DF\)；
\((2)\)求平面\(DEF\)与平面\(ABC\)相交所成锐二面角的大小；
\((3)\)在\(DE\)上是否存在一点\(P\)，使\(CP\bot \)平面\(DEF\)，如果存在，求出\(DP\)的长；如果不存在，请说明理由。
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