知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．有一山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是30°，如果在斜坡平面内沿着一条与斜坡底线成30°角的一条上山直道行走600米，则升高米．

难度：中等

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2．如图，某人沿山坡PQB的直行道AB向上行走，直行道AB与坡脚（直）线PQ成60°角，山坡与地平面所成二面角B-PQ-M的大小为30°．
求：（1）直行道AB与地平面PQMN所成的角的大小；
（2）若此人沿直行道AB向上行走了200米，那么此时离地平面的高度为多少？

难度：中等

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3．如图，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，D为线段OC的中点，E为母线PA上一点，且AE=3EP．
（1）证明：ED∥平面PCB；
（2）设二面角A-OP-C的大小为θ，二面角A-PC-B的大小为φ，求证
1
cos2φ
-
8
sin2θ
为定值，并求出此定值．

难度：中等

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4．如图所示，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，点E、D分别在边AB、AC上，且ED∥BC，AB⊥BC，沿DE折成直二面角A-ED-B，是否存在点E，使AC⊥DB？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点p在直线A₁B₁上运动，且
A1P
=λ
A1B1
（λ∈[0，1]）
（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最小？并指出该角取最小值时点P所在的位置；
（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．如图，平面α⊥平面β，平面α∩平面β=AB，P∈AB，C∈α，D∈β，且∠CPB=∠DPB=45°，则∠CPD= ．

难度：较易

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7．正三棱台A₁B₁C₁-ABC中，A₁B₁：AB=1：2，截面A₁BC与ABC的夹角为30°，求：
（1）截面A₁BC与底面ABC的面积之比；
（2）三棱台被截面A₁BC分成的上下两部分的体积之比．

难度：中等

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8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，截面BC₁D内的动点P到平面ABCD的距离到顶点C₁的距离相等，则动点P的轨迹的离心率为（　　）

A．

B．

C．1

D．

难度：较易

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9．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D为BC的中点，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在点E，使得二面角E-AD-P的大小为45°，若存在，请求出PE的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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