知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁．
（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；
（2）若AE=A₁E，求二面角B-EC-C₁的正弦值．

难度：较易

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3．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小．

难度：中等

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4．
如图，边长为\(2\)的正方形\(ABCD\)所在的平面与半圆弧\( \overparen {CD}\)所在平面垂直，\(M\)是\( \overparen {CD}\)上异于\(C\)，\(D\)的点．
\((1)\)证明：平面\(AMD⊥\)平面\(BMC\)；
\((2)\)当三棱锥\(M-ABC\)体积最大时，求面\(MAB\)与面\(MCD\)所成二面角的正弦值．

难度：难

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5．

已知四棱锥\(S-ABCD\)的底面是正方形，侧棱长均相等，\(E\)是线段\(AB\)上的点\((\)不含端点\().\)设\(SE\)与\(BC\)所成的角为\(θ_{1}\)，\(SE\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(θ_{2}\)，二面角\(S-AB-C\)的平面角为\(θ_{3}\)，则\((\)　　\()\)

A．\(θ_{1}\leqslant θ_{2}\leqslant θ_{3}\)

B．\(θ_{3}\leqslant θ_{2}\leqslant θ_{1}\)

C．\(θ_{1}\leqslant θ_{3}\leqslant θ_{2}\)

D．\(θ_{2}\leqslant θ_{3}\leqslant θ_{1}\)

难度：较易

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6．
如图，在正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AB=AA_{1}=2\)，点\(P\)，\(Q\)分别为\(A_{1}B_{1}\)，\(BC\)的中点．
\((1)\)求异面直线\(BP\)与\(AC_{1}\)所成角的余弦值；
\((2)\)求直线\(CC_{1}\)与平面\(AQC_{1}\)所成角的正弦值．

难度：较易

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7．
如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(AB=BC=2 \sqrt {2}\)，\(PA=PB=PC=AC=4\)，\(O\)为\(AC\)的中点．
\((1)\)证明：\(PO⊥\)平面\(ABC\)；
\((2)\)若点\(M\)在棱\(BC\)上，且二面角\(M-PA-C\)为\(30^{\circ}\)，求\(PC\)与平面\(PAM\)所成角的正弦值．

难度：中等

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8．
如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(CC_{1}⊥\)平面\(ABC\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)分别为\(AA_{1}\)，\(AC\)，\(A_{1}C_{1}\)，\(BB_{1}\)的中点，\(AB=BC= \sqrt {5}\)，\(AC=AA_{1}=2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AC⊥\)平面\(BEF\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(B-CD-C_{1}\)的余弦值；
\((\)Ⅲ\()\)证明：直线\(FG\)与平面\(BCD\)相交．

难度：较易

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9．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

难度：较易

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10．
如图，四面体\(ABCD\)中，\(\triangle ABC\)是正三角形，\(\triangle ACD\)是直角三角形，\(∠ABD=∠CBD\)，\(AB=BD\)．
\((1)\)证明：平面\(ACD⊥\)平面\(ABC\)；
\((2)\)过\(AC\)的平面交\(BD\)于点\(E\)，若平面\(AEC\)把四面体\(ABCD\)分成体积相等的两部分，求二面角\(D-AE-C\)的余弦值．

难度：难

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