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          共50条信息

            • 1．

              在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，\(AB=PD=a\)，\(PA=PC=\sqrt{2}a\)．

              \((1)\)求证：\(PD⊥\)平面\(ABCD\)．

              \((2)\)求异面直线\(PB\)与\(AC\)所成角的大小．

              \((3)\)求二面角\(A-PB-D\)的大小．

              难度：中等
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            • 2．

              如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\cap BD=0\)，\(A_{1}O⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．

              \((1)\)证明：平面\(A_{1}CO⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)；

              \((2)\)若\(∠BAD=60^{\circ}\)，求二面角\(B-OB_{1}-C\)的余弦值．

              难度：中等
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            • 3．
              如图，菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，\(AE⊥\)平面\(ABCD\)，\(CF/\!/AE\)，\(AB=AE=2\)．

              \((1)\)求证：\(BD⊥\)平面\(ACFE\)；
              \((2)\)当直线\(FO\)与平面\(BED\)所成的角为\(45^{\circ}\)时，求异面直线\(OF\)与\(BE\)所成的角的余弦值大小．
              难度：中等
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            • 4．
              如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(AB=BC=2 \sqrt {2}\)，\(PA=PB=PC=AC=4\)，\(O\)为\(AC\)的中点．
              证明：\(PO⊥\)平面\(ABC\)；

              难度：较易
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            • 5．
              如图，已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(PA=AD=AC=2\)，\(PD= \sqrt {2}PA\)，\(\triangle PCD\)是以\(CD\)为底边的等腰三角形，且点\(F\)为\(PC\)的中点．
              \((1)\)求证：\(PA/\!/\)平面\(BFD\)；
              \((2)\)求二面角\(C-BF-D\)的余弦值；
              \((3)\)求三棱锥\(B-CDF\)的体积．
              难度：中等
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            • 6． 如图\(1\)，已知四边形\(BCDE\)为直角梯形，\(∠B=90^{\circ}\)，\(BE/\!/CD\)，且\(BE=2CD=2BC=2\)，\(A\)为\(BE\)的中点\(.\)将\(\triangle EDA\)沿\(AD\)折到\(\triangle PDA\)位置\((\)如图\(2)\)，连结\(PC\)，\(PB\)构成一个四棱锥\(P-ABCD\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求证\(AD⊥PB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(PA⊥\)平面\(ABCD\)．
              \(①\)求二面角\(B-PC-D\)的大小；
              \(②\)在棱\(PC\)上存在点\(M\)，满足\( \overrightarrow{PM}=λ \overrightarrow{PC}(0\leqslant λ\leqslant 1)\)，使得直线\(AM\)与平面\(PBC\)所成的角为\(45^{\circ}\)，求\(λ\)的值．
              难度：较易
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            • 7． 如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(2\)的正方形，\(PB⊥BC\)，\(PD⊥CD\)，且\(PA=2\)，\(E\)为\(PD\)中点．
              \((1)\)求二面角\(B-EC-A\)的正弦值；
              \((2)\)在线段\(BC\)上是否存在点\(F\)，使得\(E\)到平面\(PAF\)的距离为\( \dfrac {2 \sqrt {5}}{5}\)？若存在，确定点\(F\)的位置，若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 8．

              如图，二面角\(α-l-β\)的大小是\(60^{\circ}\)，线段\(AB\subset \alpha \)，\(B∈l\)，\(AB\)与\(l\)所成的角为\(30^{\circ}.\)则\(AB\)与平面\(β\)所成的角的正弦值是________．


              难度：较难
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            • 9．

              设直线\(l\)与球\(O\)有且只有一个公共点\(P\)，从直线\(l\)出发的两个半平面\(\alpha ,\beta \)截球\(O\)的两个截面圆的半径分别为\(1\)和\(\sqrt{3}\)，二面角\(\alpha -l-\beta \)的平面角为\(\dfrac{5\pi }{6}\)，则球\(O\)的表面积

              A．\(4\pi \)
              B．\(16\pi \)
              C．\(28\pi \)
              D．\(112\pi \)
              难度：中等
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            • 10．

              在如图所示的空间几何体中，平面\(ACD⊥ \)平面\(ABC,ΔACD \)与\(ΔACB \)都是边长为\(2\)的等边三角形，\(BE=2,BE \)与平面\(ABC \)所成的角为\(60^{\circ}\)，且点\(E \)在平面\(ABC \)上的射影落在\(∠ABC \)的平分线上．

              \((1)\)求证：\(DE/\!/ \)平面\(ABC \)；

              \((2)\)求二面角\(E−BC−A \)的余弦值．

              难度：较难
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