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          共50条信息

            • 1． 如图，平面\(ABEF⊥\)平面\(ABC\)，四边形\(ABEF\)为矩形，\(AC=BC.O\)为\(AB\)的中点，\(OF⊥EC\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(OE⊥FC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若二面角\(F-CE-B\)的余弦值为\(- \dfrac {1}{3}\)时，求\( \dfrac {AC}{AB}\)的值．
              难度：较难
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            • 2． 如图，在以 \(A\)， \(B\)， \(C\)， \(D\)， \(E\)， \(F\)为顶点的五面体中，面 \(ABEF\)为正方形， \(AF\)\(=2\) \(FD\)，\(\angle AFD={{90}^{\circ }}\)，且二面角 \(D\)\(-\) \(AF\)\(-\) \(E\)与二面角 \(C\)\(-\) \(BE\)\(-\) \(F\)都是\({{60}^{\circ }}\)．

              \((I)\)证明：平面\(ABEF\)\(\bot \)平面\(EFDC\)；

              \((II)\)求二面角\(E\)\(-\)\(BC\)\(-\)\(A\)的余弦值．

              难度：较难
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            • 3． 如图，在三棱锥\(C-OAB\)中，\(CO⊥\)平面\(AOB\)，\(OA=OB=2OC=2\)，\(AB=2 \sqrt {2}\)，\(D\)为\(AB\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB⊥\)平面\(COD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若动点\(E\)满足\(CE/\!/\)平面\(AOB\)，问：当\(AE=BE\)时，平面\(ACE\)与平面\(AOB\)所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．
              难度：较难
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            • 4．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC\)，\(E\)是\(PC\)的中点，作\(EF⊥PB\)交\(PB\)于点\(F\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(PA/\!/\)平面\(EDB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(F-DE-B\)的正弦值．
              难度：较难
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            • 5．

              如图，菱形\(ABCD\)的对角线\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\)，\(AB\)\(=5\)，\(AC\)\(=6\)，点\(E\)，\(F\)分别在\(AD\)，\(CD\)上，\(AE\)\(=\)\(CF\)\(=\dfrac{5}{4}\)，\(EF\)交\(BD\)于点\(H\)\(.\)将\(\triangle \)\(DEF\)沿\(EF\)折到\(\triangle {D}{{'}}EF\)的位置，\(O{D}{{'}}=\sqrt{10}\) ．


              \((\)Ⅰ\()\)证明：\({D}{{'}}H\bot \)平面\(ABCD\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(B-{D}{{'}}A-C\)的正弦值\(.\)  

              难度：中等
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            • 6．

              如图，在棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)中，\(E,F,M,N \)分别是棱\(AB,AD,{A}_{1}{B}_{1},{A}_{1}{D}_{1} \)的中点，点\(P,Q \)分别在棱\(D{D}_{1} \)，\(B{B}_{1} \)上移动，且\(DP=BQ=\lambda \left( 0 < \lambda < 2 \right)\)．


              \((1)\)当\(\lambda =1\)时，证明：直线\(B{{C}_{1}}\parallel \) 平面\(EFPQ;\)

              \((2)\)是否存在\(\lambda \)，使平面\(EFPQ\)与面\(PQMN\)所成的二面角为直二面角？若存在，求出\(\lambda \)的值；若不存在，说明理由．

              难度：中等
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            • 7． 如图：在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PB⊥\)面\(ABC\)，\(\triangle ABC\)是直角三角形，\(∠B=90^{\circ}\)，\(AB=BC=2\)，\(∠PAB=45^{\circ}\)，点\(D\)、\(E\)、\(F\)分别为\(AC\)、\(AB\)、\(BC\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(EF⊥PD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求直线\(PF\)与平面\(PBD\)所成的角的大小；
              \((\)Ⅲ\()\)求二面角\(E-PF-B\)的正切值．
              难度：中等
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            • 8．

              已知四棱锥\(S-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(2\)的菱形，\(∠BAD=60^{\circ}\)，\(SA=SD= \sqrt{5},SB= \sqrt{7} \)，点\(E\)是棱\(AD\)的中点，点\(F\)在棱\(SC\)上，且\( \overset{→}{SF}=λ \overset{→}{SC} \)，\(SA/\!/\)平面\(BEF\)．


              \((\)Ⅰ\()\)求实数\(λ\)的值；

              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(S-BE-F\)的余弦值．

              难度：较难
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            • 9． 如图所示，四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是边长为\(1\)的菱形，\(\angle BCD={{60}^{\circ }}\)，\(E\)是\(CD\)的中点，\(PA\bot \)底面\(ABCD\)，\(PA=\sqrt{3}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(PBE ⊥\)平面\(PAB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-BE-P\)的大小．
              难度：较易
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            • 10．

              如图，四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是直角梯形，\(\angle ABC={{90}^{\circ }}\)，\(BC/\!/AD\)，且\(AB=AD=2BC\)，顶点\(P\)在底面\(ABCD\)内的射影恰好落在\(AB\)的中点\(O\)上\(.\)

                                                                                

              \((1)\)求证：\(PD\bot AC\)；

              \((2)\)若\(PO=AB\)，求直线\(PD\)与\(AB\)所成角的余弦值；

              \((3)\)若平面\(APB\)与平面\(PCD\)所成的二面角为\({{45}^{\circ }}\)，求\(\dfrac{PO}{BC}\)的值．

              难度：较难
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