设\(x\)，\(y∈R\)，向量\( \overset{→}{a}=\left(x,1,0\right), \overset{→}{b}=\left(1,y,0\right), \overset{→}{c}=\left(2,-4,0\right) \)且\(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{c},\overrightarrow{b}/\!/\overrightarrow{c},\)，则\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=(\)  \()\)　

已知\(\overrightarrow{OA}=(1,2,4),\overrightarrow{OB}=(2,1,1),\overrightarrow{OP}=(1,1,2)\)，点\(Q\)在直线\(OP\)上运动，则当\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}\)取得最小值时，点\(Q\)的坐标为___________。

已知空间四边形\(ABCD\)，满足\(\left| \overrightarrow{AB}\right|=3,\left| \overrightarrow{BC}\right|=7,\left| \overrightarrow{CD}\right|=11,\left| \overrightarrow{DA}\right|=9 \)则\(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}\)的值为\((\)   \()\)

\((1)\)双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率为\(\sqrt{3}\)，则其渐近线方程为________________；

\((2)\)在正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，点\(E\)，\(F\)分别是底面\({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)和侧面\(C{{C}_{1}}{{D}_{1}}D\)的中心，若\(\overrightarrow{EF}+\lambda \overrightarrow{{{A}_{1}}D}=\overrightarrow{0}(\lambda \in R)\)，则\(\lambda =\)_________；

\((3)\) 已知\(|AB|=4\)，点\(P\)在\(A\)、\(B\)所在的平面内运动且保持\(|PA|+|PB|=6\)，则\(|PA|\)的最大值和最小值分别是_____和______；

\((4)\)已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点分别为\({{F}_{1}}(-c,0)\)，\({{F}_{2}}(c,0).\)若双曲线上存在点\(P\)使得\(\dfrac{\sin \angle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}}{\sin \angle P{{F}_{2}}{{F}_{1}}}=\dfrac{a}{c}\)，则该双曲线的离心率\(e\)的取值范围是_______________．

如图\((1)\)，在直角梯形\(ABCD\)中，\(O\)为\(BD\)的中点，\(AD\)\(/\!/\)\(BC\)，，，把沿翻折如图\((2)\)，使得平面．

\((1)\)求证：；

\((2)\)在线段上是否存在点\(N\)，使得与平面所成角为\({{30}^{\circ }}\)？若存在，求出\( \dfrac{BN}{BC} \)的值；若不存在，说明理由．