知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥S-ABCD中，点O是正方形ABCD的中心，SO⊥平面ABCD，且SO=OD，点P为棱SD上一点．
（Ⅰ）当点P为棱SD的中点时，求证：SD⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在点P，使得直线BC与平面PAC所成角的正弦值为
10
10
？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2，DA=
3
．
（1）线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出
BE
CE
的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．
（2）若PD=
3
，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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3．（2017•温州模拟）在四菱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（I）求证：PA⊥AB；
（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．

难度：中等

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4．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB=AE．
（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）若点H在线段BF上，且BF=3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．

难度：中等

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5．如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2
2
，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角．

难度：中等

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7．如图所示，在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=
π
2
，OA=OS=AB=1，OC=2，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．

难度：中等

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8．如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，∠BCC1=
π
3
，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=
2
，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

难度：中等

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9．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B₁-CD-B的正切值．

难度：中等

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10．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是
a
=（1，0，1），
b
=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是．

难度：中等

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