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          共50条信息

            • 1．

              已知\(\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\)为空间的一个基底，且\(\overrightarrow{OP}=2{{e}_{1}}-{{e}_{2}}+3{{e}_{3}}\)，\(\overrightarrow{OA}={{e}_{1}}+2{{e}_{2}}-{{e}_{3}}\)，\(\overrightarrow{OB}=-3{{e}_{1}}+{{e}_{2}}+2{{e}_{3}}\)，\(\overrightarrow{OC}={{e}_{1}}+{{e}_{2}}-{{e}_{3}}\)．

              \((1)\)判断\(P\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)四点是否共面；

              \((2)\)能否以\(\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}\)作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量\(\overrightarrow{OP}\)．

              难度：中等
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            • 2．

              已知斜三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)，\(\angle BCA=90{}^\circ \)，\(AC=BC=2\)，\({{A}_{1}}\)在底面\(ABC\)上的恰为\(AC\)的中点\(D\)，又知\(B{{A}_{1}}\bot A{{C}_{1}}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(A{{C}_{1}}\bot \)平面\({{A}_{1}}BC\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-{{A}_{1}}B-C\)的余弦值\(.\)                                                          

              难度：较易
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            • 3．

              在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(ABCD\)为平行四边形，\(AC\)与\(BD\)交于\(O\)，\(G\)为\(BD\)上一点，\(BG=2GD\)，\(\overrightarrow{PA}=a\)，\(\overrightarrow{PB}=b\)，\(\overrightarrow{PC}=c\)，试用基底\(\{a,b,c\}\)表示向量\(\overrightarrow{PG}\)．

              难度：较易
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            • 4．

              已知平行六面体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(2\)的正方形，侧棱\(AA_{1}\)的长为\(2\)，\(∠A_{1}AB=∠A_{1}AD=120^{\circ}\)．



              \((1)\)求：对角线\(AC_{1}\)的长；

              \((2)\)求：直线\(AC_{1}\)和\(BB_{1}\)的夹角的余弦值．

              难度：较易
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            • 5．

              如图，点\(A(0,0,\sqrt{3})\)，在四面体\(ABCD\)中，\(AB⊥\)平面\(BCD\)，\(BC=CD\)，\(∠BCD=90^{\circ}\)，\(∠ADB=30^{\circ}\)，\(E\)、\(F\)分别是\(AC\)、\(AD\)的中点\(.\)求\(D\)、\(C\)、\(E\)、\(F\)这四点的坐标．

              ​

              难度：较难
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            • 6．

              如图\((1)\)，在直角梯形\(ABCD\)中，\(O\)为\(BD\)的中点，\(AD\)\(/\!/\)\(BC\)，，，把沿翻折如图\((2)\)，使得平面．

              \((1)\)求证：；

              \((2)\)在线段上是否存在点\(N\)，使得与平面所成角为\({{30}^{\circ }}\)？若存在，求出\( \dfrac{BN}{BC} \)的值；若不存在，说明理由．

              难度：较易
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            • 7． 如图，正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的底面边长是\(2\)，侧棱长是\(\sqrt{3}\)，\(D\)是\(AC\)的中点．
              ​
              \((I)\)求证：\(B_{1}C/\!/\)平面\(A_{1}BD\)；
              \((II)\)在线段\(AA_{1}\)上是否存在一点\(E\)，使得平面\(B_{1}C_{1}E⊥\)平面\(A_{1}BD\)，若存在，求出\(AE\)的长；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 如图所示，已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体．
              （1）化简
              1
              2
              AA1
              +
              BC
              +
              2
              3
              AB
              ，并在图上标出结果；
              （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N=
              1
              4
              C1B，设
              MN
              =α
              AB
              +β
              AD
              +γ
              AA1
              ，求α，β，γ的值．
              难度：中等
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            • 9． 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
              （1）
              CB
              +
              BA1
              ；
              （2）
              AC
              +
              CB
              +
              1
              2
              AA1
              ；
              （3）
              AA1
              -
              AC
              -
              CB
              ．
              难度：中等
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            • 10． 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与D的交点，若
              A1B1
              =
              a
              ，
              A 1D1
              =
              b
              ，
              A1A
              =
              c
              ，用基底{
              a
              ，
              b
              ，
              c
              }表示向量
              C1M
              ．
              难度：中等
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