知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面为正方形$ABCD$，$PC⊥$底面$ABCD$，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为$6$的等腰直角三角形．
$(1)$画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
$(2)$求证：$AD⊥PD$；
$(3)$求四棱锥$P-ABCD$外接球的直径．

难度：较易

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2．
如图，正三棱锥$O-ABC$的底面边长为$2$，高为$1$，求该三棱锥的体积及表面积．

难度：较易

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3．
在四棱锥$S-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，平面$SAB⊥$平面$ABCD$，平面$SAD⊥$平面$ABCD$，且$SA=2AD=3AB$．
$($Ⅰ$)$证明：$SA⊥$平面$ABCD$；
$($Ⅱ$)$若$E$为$SC$的中点，三棱锥$E-BCD$的体积为$ \dfrac {8}{9}$，求四棱锥$S-ABCD$外接球的表面积．

难度：较易

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4．
如图$1$，在正方形$ABCD$中，点，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，$BD$与$EF$交于点$H$，点$G$，$R$分别在线段$DH$，$HB$上，且$ \dfrac {DG}{GH}= \dfrac {BR}{RH}.$将$\triangle AED$，$\triangle CFD$，$\triangle BEF$分别沿$DE$，$DF$，$EF$折起，使点$A$，$B$，$C$重合于点$P$，如图$2$所示．
$(1)$求证：$GR⊥$平面$PEF$；
$(2)$若正方形$ABCD$的边长为$4$，求三棱锥$P-DEF$的内切球的半径．

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5．已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于 ______ ．

难度：易

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6．
一个四面体的所有棱长都为$ \sqrt {2}$，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积．

难度：较易

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7．
如图，用一平面去截球$O$，所得截面面积为$16π$，球心$O$到截面的距离为$3$，$O_{1}$为截面小圆圆心，$AB$为截面小圆的直径；
$(1)$计算球$O$的表面积和体积；
$(2)$若$C$是截面小圆上一点，$∠ABC=30^{\circ}$，$M$、$N$分别是线段$AO_{1}$和$OO_{1}$的中点，求
异面直线$AC$与$MN$所成的角；$($结果用反三角表示$)$

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8．四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，AD=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，AB=2，PA=PD，∠APD= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的外接球的体积．

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9．如图，从正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．
（Ⅰ）若选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；
（Ⅱ）求棱长为a的正四面体外接球的半径．

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10．在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 的圆柱．
（1）求：圆柱表面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

难度：较易

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