知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ AC=2，∠ACB=∠ACD= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP= $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$ ，AP与BC所成角的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%7D%7B7%7D$ ，求二面角A-BP-C的余弦值．．

难度：较难

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2．如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O．
（1）证明：SO⊥BD；
（2）求三棱锥O-SCD的体积．

难度：较难

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3．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，M为CC₁的中点，∠ABC=90°，AC=A₁A，∠A₁AC=60°，AB=BC=2．
（Ⅰ）求证：BA₁=BM；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-A₁B₁M的体积．

难度：易

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，
∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A-PBD的体积．

难度：难

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，CD=2AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．
（1）求证：CD⊥BF；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．

难度：较难

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6．如图，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H为垂足，CD=4，AD=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，∠CAD=90°，以CD为轴，将△ACD按逆时针方向旋转90°到△BCD位置，E为AD中点；
（Ⅰ）证明：AB⊥CD．
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

难度：较易

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7．如图1中矩形ABCD中，已知AB=2， $AD%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

难度：较易

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8．如图，在四棱锥V-ABCD中，VD⊥平面ABCD，VD=DC=BC=2，AB=4，
AB∥CD，BC⊥CD．
（1）求证：BC⊥VC；
（2）求点A到平面VBC的距离．

难度：较易

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9．给出下列命题：
（1）两条平行线与同一平面所成角相等；
（2）与同一平面所成角相等的两条直线平行；
（3）一条直线与两个平行平面所成角相等；
（4）一条直线与两个平面所成角相等，这两个平面平行．
其中正确的命题是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）

难度：较易

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10．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，且AE=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，BF= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（I）求证：CF⊥C₁E；
（II）求二面角E-CF-C₁的大小．

难度：较易

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